Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8284 / 8348
↖ ↑ ↗
← S  3.425692°
E  2.021484°		 ← 2 438.85 m → S  3.425692°
E  2.043457°		 →
↑
2 438.82 m
↓
↑
2 438.82 m
↓
S  3.447625°
E  2.021484°		 ← 2 438.79 m →
5 947 843 m²		 S  3.447625°
E  2.043457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505645751953125 y=0.509552001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505645751953125 × 214)
    floor (0.505645751953125 × 16384)
    floor (8284.5)     		tx = 8284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.509552001953125 × 214)
    floor (0.509552001953125 × 16384)
    floor (8348.5)     		ty = 8348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8284 / 8348 ti = "14/8284/8348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8284/8348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8284 ÷ 214
    8284 ÷ 16384     		x = 0.505615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8348 ÷ 214
    8348 ÷ 16384     		y = 0.509521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505615234375 × 2 - 1) × π
    0.01123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.03528156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.509521484375 × 2 - 1) × π
    -0.01904296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0598252507258301
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03528156} λ = 0.03528156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0598252507258301))-π/2
    2×atan(0.941929120633246)-π/2
    2×0.755503365268922-π/2
    1.51100673053784-1.57079632675     		φ = -0.05978960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03528156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.021484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05978960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.425692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8284 KachelY 8348 0.03528156 -0.05978960 2.021484 -3.425692
    Oben rechts KachelX + 1 8285 KachelY 8348 0.03566505 -0.05978960 2.043457 -3.425692
    Unten links KachelX 8284 KachelY + 1 8349 0.03528156 -0.06017240 2.021484 -3.447625
    Unten rechts KachelX + 1 8285 KachelY + 1 8349 0.03566505 -0.06017240 2.043457 -3.447625
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05978960--0.06017240) × R
    0.000382800000000003 × 6371000     		dl = 2438.81880000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05978960--0.06017240) × R
    0.000382800000000003 × 6371000     		dr = 2438.81880000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03528156-0.03566505) × cos(-0.05978960) × R
    0.00038349 × 0.998213134267824 × 6371000     		do = 2438.8490932154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03528156-0.03566505) × cos(-0.06017240) × R
    0.00038349 × 0.9981901873064 × 6371000     		du = 2438.79302885987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05978960)-sin(-0.06017240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998213134267824-0.9981901873064)×R²
    abs(0.03566505-0.03528156)×2.29469614239086e-05×R²
    0.00038349×2.29469614239086e-05×6371000²
    0.00038349×2.29469614239086e-05×40589641000000     		ar = 5947842.72612558m²