Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8276 / 5548
↖ ↑ ↗
← N 50.120578°
E  1.845703°		 ← 1 566.53 m → N 50.120578°
E  1.867676°		 →
↑
1 566.76 m
↓
↑
1 566.76 m
↓
N 50.106488°
E  1.845703°		 ← 1 566.99 m →
2 454 726 m²		 N 50.106488°
E  1.867676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505157470703125 y=0.338653564453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505157470703125 × 214)
    floor (0.505157470703125 × 16384)
    floor (8276.5)     		tx = 8276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338653564453125 × 214)
    floor (0.338653564453125 × 16384)
    floor (5548.5)     		ty = 5548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8276 / 5548 ti = "14/8276/5548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8276/5548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8276 ÷ 214
    8276 ÷ 16384     		x = 0.505126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5548 ÷ 214
    5548 ÷ 16384     		y = 0.338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.505126953125 × 2 - 1) × π
    0.01025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03221360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338623046875 × 2 - 1) × π
    0.32275390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01396130076343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03221360} λ = 0.03221360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01396130076343))-π/2
    2×atan(2.75649873673997)-π/2
    2×1.22278271879434-π/2
    2.44556543758868-1.57079632675     		φ = 0.87476911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03221360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.845703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87476911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.120578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8276 KachelY 5548 0.03221360 0.87476911 1.845703 50.120578
    Oben rechts KachelX + 1 8277 KachelY 5548 0.03259709 0.87476911 1.867676 50.120578
    Unten links KachelX 8276 KachelY + 1 5549 0.03221360 0.87452319 1.845703 50.106488
    Unten rechts KachelX + 1 8277 KachelY + 1 5549 0.03259709 0.87452319 1.867676 50.106488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87476911-0.87452319) × R
    0.000245920000000011 × 6371000     		dl = 1566.75632000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87476911-0.87452319) × R
    0.000245920000000011 × 6371000     		dr = 1566.75632000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03221360-0.03259709) × cos(0.87476911) × R
    0.00038349 × 0.641174059195149 × 6371000     		do = 1566.52594438992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03221360-0.03259709) × cos(0.87452319) × R
    0.00038349 × 0.641362757702155 × 6371000     		du = 1566.98697537309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87476911)-sin(0.87452319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641174059195149-0.641362757702155)×R²
    abs(0.03259709-0.03221360)×0.000188698507006424×R²
    0.00038349×0.000188698507006424×6371000²
    0.00038349×0.000188698507006424×40589641000000     		ar = 2454725.59779232m²