Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8274 / 5570
↖ ↑ ↗
← N 49.809632°
E  1.801758°		 ← 1 576.68 m → N 49.809632°
E  1.823730°		 →
↑
1 576.95 m
↓
↑
1 576.95 m
↓
N 49.795450°
E  1.801758°		 ← 1 577.14 m →
2 486 707 m²		 N 49.795450°
E  1.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5570 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505035400390625 y=0.339996337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505035400390625 × 214)
    floor (0.505035400390625 × 16384)
    floor (8274.5)     		tx = 8274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339996337890625 × 214)
    floor (0.339996337890625 × 16384)
    floor (5570.5)     		ty = 5570
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8274 / 5570 ti = "14/8274/5570"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8274/5570.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8274 ÷ 214
    8274 ÷ 16384     		x = 0.5050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5570 ÷ 214
    5570 ÷ 16384     		y = 0.3399658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3399658203125 × 2 - 1) × π
    0.320068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.0055244064303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03144661} λ = 0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0055244064303))-π/2
    2×atan(2.73334027827257)-π/2
    2×1.22006919838291-π/2
    2.44013839676582-1.57079632675     		φ = 0.86934207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86934207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.809632°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8274 KachelY 5570 0.03144661 0.86934207 1.801758 49.809632
    Oben rechts KachelX + 1 8275 KachelY 5570 0.03183010 0.86934207 1.823730 49.809632
    Unten links KachelX 8274 KachelY + 1 5571 0.03144661 0.86909455 1.801758 49.795450
    Unten rechts KachelX + 1 8275 KachelY + 1 5571 0.03183010 0.86909455 1.823730 49.795450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86934207-0.86909455) × R
    0.000247519999999946 × 6371000     		dl = 1576.94991999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86934207-0.86909455) × R
    0.000247519999999946 × 6371000     		dr = 1576.94991999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03144661-0.03183010) × cos(0.86934207) × R
    0.00038349 × 0.645329282577622 × 6371000     		do = 1576.67804761374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03144661-0.03183010) × cos(0.86909455) × R
    0.00038349 × 0.645518344454283 × 6371000     		du = 1577.13996638702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86934207)-sin(0.86909455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645329282577622-0.645518344454283)×R²
    abs(0.03183010-0.03144661)×0.000189061876661456×R²
    0.00038349×0.000189061876661456×6371000²
    0.00038349×0.000189061876661456×40589641000000     		ar = 2486706.54513171m²