Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8274 / 5554
↖ ↑ ↗
← N 50.035974°
E  1.801758°		 ← 1 569.29 m → N 50.035974°
E  1.823730°		 →
↑
1 569.56 m
↓
↑
1 569.56 m
↓
N 50.021859°
E  1.801758°		 ← 1 569.75 m →
2 463 460 m²		 N 50.021859°
E  1.823730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.505035400390625 y=0.339019775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.505035400390625 × 214)
    floor (0.505035400390625 × 16384)
    floor (8274.5)     		tx = 8274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339019775390625 × 214)
    floor (0.339019775390625 × 16384)
    floor (5554.5)     		ty = 5554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8274 / 5554 ti = "14/8274/5554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8274/5554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8274 ÷ 214
    8274 ÷ 16384     		x = 0.5050048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5554 ÷ 214
    5554 ÷ 16384     		y = 0.3389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5050048828125 × 2 - 1) × π
    0.010009765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.03144661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3389892578125 × 2 - 1) × π
    0.322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01166032958167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03144661} λ = 0.03144661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01166032958167))-π/2
    2×atan(2.75016340408828)-π/2
    2×1.22204440589867-π/2
    2.44408881179733-1.57079632675     		φ = 0.87329249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03144661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.801758°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87329249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.035974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8274 KachelY 5554 0.03144661 0.87329249 1.801758 50.035974
    Oben rechts KachelX + 1 8275 KachelY 5554 0.03183010 0.87329249 1.823730 50.035974
    Unten links KachelX 8274 KachelY + 1 5555 0.03144661 0.87304613 1.801758 50.021859
    Unten rechts KachelX + 1 8275 KachelY + 1 5555 0.03183010 0.87304613 1.823730 50.021859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87329249-0.87304613) × R
    0.000246360000000001 × 6371000     		dl = 1569.55956000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87329249-0.87304613) × R
    0.000246360000000001 × 6371000     		dr = 1569.55956000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03144661-0.03183010) × cos(0.87329249) × R
    0.00038349 × 0.642306511290056 × 6371000     		do = 1569.29276809717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03144661-0.03183010) × cos(0.87304613) × R
    0.00038349 × 0.64249531389487 × 6371000     		du = 1569.75405341364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87329249)-sin(0.87304613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642306511290056-0.64249531389487)×R²
    abs(0.03183010-0.03144661)×0.000188802604814575×R²
    0.00038349×0.000188802604814575×6371000²
    0.00038349×0.000188802604814575×40589641000000     		ar = 2463460.48645492m²