Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8273 / 5551
↖ ↑ ↗
← N 50.078294°
E  1.779785°		 ← 1 567.95 m → N 50.078294°
E  1.801758°		 →
↑
1 568.16 m
↓
↑
1 568.16 m
↓
N 50.064192°
E  1.779785°		 ← 1 568.41 m →
2 459 155 m²		 N 50.064192°
E  1.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504974365234375 y=0.338836669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504974365234375 × 214)
    floor (0.504974365234375 × 16384)
    floor (8273.5)     		tx = 8273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338836669921875 × 214)
    floor (0.338836669921875 × 16384)
    floor (5551.5)     		ty = 5551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8273 / 5551 ti = "14/8273/5551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8273/5551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8273 ÷ 214
    8273 ÷ 16384     		x = 0.50494384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5551 ÷ 214
    5551 ÷ 16384     		y = 0.33880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50494384765625 × 2 - 1) × π
    0.0098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.03106311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33880615234375 × 2 - 1) × π
    0.3223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01281081517255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.03106311} λ = 0.03106311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01281081517255))-π/2
    2×atan(2.75332924823709)-π/2
    2×1.22241372520589-π/2
    2.44482745041179-1.57079632675     		φ = 0.87403112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.03106311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.779785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87403112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.078294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8273 KachelY 5551 0.03106311 0.87403112 1.779785 50.078294
    Oben rechts KachelX + 1 8274 KachelY 5551 0.03144661 0.87403112 1.801758 50.078294
    Unten links KachelX 8273 KachelY + 1 5552 0.03106311 0.87378498 1.779785 50.064192
    Unten rechts KachelX + 1 8274 KachelY + 1 5552 0.03144661 0.87378498 1.801758 50.064192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87403112-0.87378498) × R
    0.000246140000000006 × 6371000     		dl = 1568.15794000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87403112-0.87378498) × R
    0.000246140000000006 × 6371000     		dr = 1568.15794000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.03106311-0.03144661) × cos(0.87403112) × R
    0.000383499999999998 × 0.641740214734451 × 6371000     		do = 1567.95006924606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.03106311-0.03144661) × cos(0.87378498) × R
    0.000383499999999998 × 0.641928965496643 × 6371000     		du = 1568.41123992518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87403112)-sin(0.87378498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641740214734451-0.641928965496643)×R²
    abs(0.03144661-0.03106311)×0.000188750762191603×R²
    0.000383499999999998×0.000188750762191603×6371000²
    0.000383499999999998×0.000188750762191603×40589641000000     		ar = 2459154.95725855m²