Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8267 / 5560
↖ ↑ ↗
← N 49.951220°
E  1.647949°		 ← 1 572.06 m → N 49.951220°
E  1.669922°		 →
↑
1 572.30 m
↓
↑
1 572.30 m
↓
N 49.937080°
E  1.647949°		 ← 1 572.52 m →
2 472 113 m²		 N 49.937080°
E  1.669922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504608154296875 y=0.339385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504608154296875 × 214)
    floor (0.504608154296875 × 16384)
    floor (8267.5)     		tx = 8267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339385986328125 × 214)
    floor (0.339385986328125 × 16384)
    floor (5560.5)     		ty = 5560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8267 / 5560 ti = "14/8267/5560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8267/5560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8267 ÷ 214
    8267 ÷ 16384     		x = 0.50457763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5560 ÷ 214
    5560 ÷ 16384     		y = 0.33935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50457763671875 × 2 - 1) × π
    0.0091552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02876214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33935546875 × 2 - 1) × π
    0.3212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0093593583999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02876214} λ = 0.02876214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0093593583999))-π/2
    2×atan(2.74384263209619)-π/2
    2×1.22130478978511-π/2
    2.44260957957023-1.57079632675     		φ = 0.87181325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02876214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.647949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87181325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.951220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8267 KachelY 5560 0.02876214 0.87181325 1.647949 49.951220
    Oben rechts KachelX + 1 8268 KachelY 5560 0.02914563 0.87181325 1.669922 49.951220
    Unten links KachelX 8267 KachelY + 1 5561 0.02876214 0.87156646 1.647949 49.937080
    Unten rechts KachelX + 1 8268 KachelY + 1 5561 0.02914563 0.87156646 1.669922 49.937080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87181325-0.87156646) × R
    0.000246789999999941 × 6371000     		dl = 1572.29908999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87181325-0.87156646) × R
    0.000246789999999941 × 6371000     		dr = 1572.29908999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02876214-0.02914563) × cos(0.87181325) × R
    0.00038349 × 0.643439568499962 × 6371000     		do = 1572.06107023033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02876214-0.02914563) × cos(0.87156646) × R
    0.00038349 × 0.64362846588642 × 6371000     		du = 1572.52258711871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87181325)-sin(0.87156646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.643439568499962-0.64362846588642)×R²
    abs(0.02914563-0.02876214)×0.000188897386457998×R²
    0.00038349×0.000188897386457998×6371000²
    0.00038349×0.000188897386457998×40589641000000     		ar = 2472113.0239851m²