Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8260 / 5542
↖ ↑ ↗
← N 50.205033°
E  1.494140°		 ← 1 563.80 m → N 50.205033°
E  1.516113°		 →
↑
1 564.02 m
↓
↑
1 564.02 m
↓
N 50.190968°
E  1.494140°		 ← 1 564.26 m →
2 446 172 m²		 N 50.190968°
E  1.516113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.504180908203125 y=0.338287353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.504180908203125 × 214)
    floor (0.504180908203125 × 16384)
    floor (8260.5)     		tx = 8260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338287353515625 × 214)
    floor (0.338287353515625 × 16384)
    floor (5542.5)     		ty = 5542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8260 / 5542 ti = "14/8260/5542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8260/5542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8260 ÷ 214
    8260 ÷ 16384     		x = 0.504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5542 ÷ 214
    5542 ÷ 16384     		y = 0.3382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.504150390625 × 2 - 1) × π
    0.00830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.02607767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3382568359375 × 2 - 1) × π
    0.323486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01626227194519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02607767} λ = 0.02607767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01626227194519))-π/2
    2×atan(2.76284866359349)-π/2
    2×1.22351972916142-π/2
    2.44703945832284-1.57079632675     		φ = 0.87624313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02607767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.494140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87624313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.205033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8260 KachelY 5542 0.02607767 0.87624313 1.494140 50.205033
    Oben rechts KachelX + 1 8261 KachelY 5542 0.02646117 0.87624313 1.516113 50.205033
    Unten links KachelX 8260 KachelY + 1 5543 0.02607767 0.87599764 1.494140 50.190968
    Unten rechts KachelX + 1 8261 KachelY + 1 5543 0.02646117 0.87599764 1.516113 50.190968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87624313-0.87599764) × R
    0.000245489999999959 × 6371000     		dl = 1564.01678999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87624313-0.87599764) × R
    0.000245489999999959 × 6371000     		dr = 1564.01678999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02607767-0.02646117) × cos(0.87624313) × R
    0.000383499999999998 × 0.640042206765847 × 6371000     		do = 1563.80136288354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02607767-0.02646117) × cos(0.87599764) × R
    0.000383499999999998 × 0.64023080720334 × 6371000     		du = 1564.26216627756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87624313)-sin(0.87599764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640042206765847-0.64023080720334)×R²
    abs(0.02646117-0.02607767)×0.000188600437492359×R²
    0.000383499999999998×0.000188600437492359×6371000²
    0.000383499999999998×0.000188600437492359×40589641000000     		ar = 2446171.95218049m²