Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8248 / 5997
↖ ↑ ↗
← N 43.373112°
E  1.230469°		 ← 1 776.01 m → N 43.373112°
E  1.252442°		 →
↑
1 776.17 m
↓
↑
1 776.17 m
↓
N 43.357138°
E  1.230469°		 ← 1 776.48 m →
3 154 916 m²		 N 43.357138°
E  1.252442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.503448486328125 y=0.366058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.503448486328125 × 214)
    floor (0.503448486328125 × 16384)
    floor (8248.5)     		tx = 8248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366058349609375 × 214)
    floor (0.366058349609375 × 16384)
    floor (5997.5)     		ty = 5997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8248 / 5997 ti = "14/8248/5997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8248/5997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8248 ÷ 214
    8248 ÷ 16384     		x = 0.50341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5997 ÷ 214
    5997 ÷ 16384     		y = 0.36602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50341796875 × 2 - 1) × π
    0.0068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.02147573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36602783203125 × 2 - 1) × π
    0.2679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.841771957328186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.02147573} λ = 0.02147573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.841771957328186))-π/2
    2×atan(2.3204751188717)-π/2
    2×1.16389997061097-π/2
    2.32779994122194-1.57079632675     		φ = 0.75700361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.02147573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.230469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75700361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.373112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8248 KachelY 5997 0.02147573 0.75700361 1.230469 43.373112
    Oben rechts KachelX + 1 8249 KachelY 5997 0.02185923 0.75700361 1.252442 43.373112
    Unten links KachelX 8248 KachelY + 1 5998 0.02147573 0.75672482 1.230469 43.357138
    Unten rechts KachelX + 1 8249 KachelY + 1 5998 0.02185923 0.75672482 1.252442 43.357138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75700361-0.75672482) × R
    0.000278790000000084 × 6371000     		dl = 1776.17109000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75700361-0.75672482) × R
    0.000278790000000084 × 6371000     		dr = 1776.17109000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.02147573-0.02185923) × cos(0.75700361) × R
    0.000383500000000002 × 0.72689703106649 × 6371000     		do = 1776.0118877186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.02147573-0.02185923) × cos(0.75672482) × R
    0.000383500000000002 × 0.727088460862169 × 6371000     		du = 1776.47960402264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75700361)-sin(0.75672482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72689703106649-0.727088460862169)×R²
    abs(0.02185923-0.02147573)×0.000191429795678877×R²
    0.000383500000000002×0.000191429795678877×6371000²
    0.000383500000000002×0.000191429795678877×40589641000000     		ar = 3154916.36298533m²