Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 824 / 952
↖ ↑ ↗
← S 82.308893°
E109.687500°		 ← 5 231.78 m → S 82.308893°
E110.039063°		 →
↑
5 215.87 m
↓
↑
5 215.87 m
↓
S 82.355800°
E109.687500°		 ← 5 200.06 m →
27 205 571 m²		 S 82.355800°
E110.039063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.80517578125 y=0.93017578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.80517578125 × 210)
    floor (0.80517578125 × 1024)
    floor (824.5)     		tx = 824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.93017578125 × 210)
    floor (0.93017578125 × 1024)
    floor (952.5)     		ty = 952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 824 / 952 ti = "10/824/952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/824/952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 824 ÷ 210
    824 ÷ 1024     		x = 0.8046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 952 ÷ 210
    952 ÷ 1024     		y = 0.9296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8046875 × 2 - 1) × π
    0.609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91440802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9296875 × 2 - 1) × π
    -0.859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.69980618660156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91440802} λ = 1.91440802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.69980618660156))-π/2
    2×atan(0.0672185393308908)-π/2
    2×0.0671175743461181-π/2
    0.134235148692236-1.57079632675     		φ = -1.43656118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91440802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.687500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.43656118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.308893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 824 KachelY 952 1.91440802 -1.43656118 109.687500 -82.308893
    Oben rechts KachelX + 1 825 KachelY 952 1.92054395 -1.43656118 110.039063 -82.308893
    Unten links KachelX 824 KachelY + 1 953 1.91440802 -1.43737987 109.687500 -82.355800
    Unten rechts KachelX + 1 825 KachelY + 1 953 1.92054395 -1.43737987 110.039063 -82.355800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.43656118--1.43737987) × R
    0.000818690000000011 × 6371000     		dl = 5215.87399000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.43656118--1.43737987) × R
    0.000818690000000011 × 6371000     		dr = 5215.87399000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91440802-1.92054395) × cos(-1.43656118) × R
    0.00613593000000012 × 0.133832377654437 × 6371000     		do = 5231.77664960612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91440802-1.92054395) × cos(-1.43737987) × R
    0.00613593000000012 × 0.13302100784328 × 6371000     		du = 5200.0585728103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.43656118)-sin(-1.43737987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133832377654437-0.13302100784328)×R²
    abs(1.92054395-1.91440802)×0.000811369811157647×R²
    0.00613593000000012×0.000811369811157647×6371000²
    0.00613593000000012×0.000811369811157647×40589641000000     		ar = 27205570.5218257m²