Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8238 / 5590
↖ ↑ ↗
← N 49.525208°
E  1.010742°		 ← 1 585.92 m → N 49.525208°
E  1.032715°		 →
↑
1 586.19 m
↓
↑
1 586.19 m
↓
N 49.510944°
E  1.010742°		 ← 1 586.39 m →
2 515 940 m²		 N 49.510944°
E  1.032715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502838134765625 y=0.341217041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502838134765625 × 214)
    floor (0.502838134765625 × 16384)
    floor (8238.5)     		tx = 8238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341217041015625 × 214)
    floor (0.341217041015625 × 16384)
    floor (5590.5)     		ty = 5590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8238 / 5590 ti = "14/8238/5590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8238/5590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8238 ÷ 214
    8238 ÷ 16384     		x = 0.5028076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5590 ÷ 214
    5590 ÷ 16384     		y = 0.3411865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5028076171875 × 2 - 1) × π
    0.005615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01764078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3411865234375 × 2 - 1) × π
    0.317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997854502491089
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01764078} λ = 0.01764078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997854502491089))-π/2
    2×atan(2.71245601343814)-π/2
    2×1.21758713754-π/2
    2.43517427508-1.57079632675     		φ = 0.86437795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01764078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 1.010742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86437795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.525208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8238 KachelY 5590 0.01764078 0.86437795 1.010742 49.525208
    Oben rechts KachelX + 1 8239 KachelY 5590 0.01802427 0.86437795 1.032715 49.525208
    Unten links KachelX 8238 KachelY + 1 5591 0.01764078 0.86412898 1.010742 49.510944
    Unten rechts KachelX + 1 8239 KachelY + 1 5591 0.01802427 0.86412898 1.032715 49.510944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86437795-0.86412898) × R
    0.000248969999999904 × 6371000     		dl = 1586.18786999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86437795-0.86412898) × R
    0.000248969999999904 × 6371000     		dr = 1586.18786999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01764078-0.01802427) × cos(0.86437795) × R
    0.00038349 × 0.64911342947038 × 6371000     		do = 1585.92353126965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01764078-0.01802427) × cos(0.86412898) × R
    0.00038349 × 0.649302798745507 × 6371000     		du = 1586.38620108342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86437795)-sin(0.86412898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64911342947038-0.649302798745507)×R²
    abs(0.01802427-0.01764078)×0.000189369275127915×R²
    0.00038349×0.000189369275127915×6371000²
    0.00038349×0.000189369275127915×40589641000000     		ar = 2515939.62166562m²