Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8236 / 5596
↖ ↑ ↗
← N 49.439557°
E  0.966797°		 ← 1 588.70 m → N 49.439557°
E  0.988769°		 →
↑
1 588.93 m
↓
↑
1 588.93 m
↓
N 49.425267°
E  0.966797°		 ← 1 589.16 m →
2 524 697 m²		 N 49.425267°
E  0.988769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502716064453125 y=0.341583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502716064453125 × 214)
    floor (0.502716064453125 × 16384)
    floor (8236.5)     		tx = 8236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341583251953125 × 214)
    floor (0.341583251953125 × 16384)
    floor (5596.5)     		ty = 5596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8236 / 5596 ti = "14/8236/5596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8236/5596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8236 ÷ 214
    8236 ÷ 16384     		x = 0.502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5596 ÷ 214
    5596 ÷ 16384     		y = 0.341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.502685546875 × 2 - 1) × π
    0.00537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01687379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341552734375 × 2 - 1) × π
    0.31689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.995553531309326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01687379} λ = 0.01687379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.995553531309326))-π/2
    2×atan(2.7062219053215)-π/2
    2×1.21683968821859-π/2
    2.43367937643719-1.57079632675     		φ = 0.86288305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01687379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86288305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.439557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8236 KachelY 5596 0.01687379 0.86288305 0.966797 49.439557
    Oben rechts KachelX + 1 8237 KachelY 5596 0.01725728 0.86288305 0.988769 49.439557
    Unten links KachelX 8236 KachelY + 1 5597 0.01687379 0.86263365 0.966797 49.425267
    Unten rechts KachelX + 1 8237 KachelY + 1 5597 0.01725728 0.86263365 0.988769 49.425267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86288305-0.86263365) × R
    0.000249399999999955 × 6371000     		dl = 1588.92739999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86288305-0.86263365) × R
    0.000249399999999955 × 6371000     		dr = 1588.92739999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01687379-0.01725728) × cos(0.86288305) × R
    0.00038349 × 0.650249861669064 × 6371000     		do = 1588.70007922531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01687379-0.01725728) × cos(0.86263365) × R
    0.00038349 × 0.650439315717097 × 6371000     		du = 1589.16295615749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86288305)-sin(0.86263365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650249861669064-0.650439315717097)×R²
    abs(0.01725728-0.01687379)×0.000189454048033055×R²
    0.00038349×0.000189454048033055×6371000²
    0.00038349×0.000189454048033055×40589641000000     		ar = 2524696.83826976m²