Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8229 / 6058
↖ ↑ ↗
← N 42.391008°
E  0.812988°		 ← 1 804.51 m → N 42.391008°
E  0.834961°		 →
↑
1 804.71 m
↓
↑
1 804.71 m
↓
N 42.374778°
E  0.812988°		 ← 1 804.98 m →
3 257 045 m²		 N 42.374778°
E  0.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.502288818359375 y=0.369781494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.502288818359375 × 214)
    floor (0.502288818359375 × 16384)
    floor (8229.5)     		tx = 8229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369781494140625 × 214)
    floor (0.369781494140625 × 16384)
    floor (6058.5)     		ty = 6058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8229 / 6058 ti = "14/8229/6058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8229/6058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8229 ÷ 214
    8229 ÷ 16384     		x = 0.50225830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6058 ÷ 214
    6058 ÷ 16384     		y = 0.3697509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50225830078125 × 2 - 1) × π
    0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3697509765625 × 2 - 1) × π
    0.260498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.818378750313599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01418932} λ = 0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818378750313599))-π/2
    2×atan(2.26682177271918)-π/2
    2×1.15532950012476-π/2
    2.31065900024951-1.57079632675     		φ = 0.73986267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73986267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.391008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8229 KachelY 6058 0.01418932 0.73986267 0.812988 42.391008
    Oben rechts KachelX + 1 8230 KachelY 6058 0.01457282 0.73986267 0.834961 42.391008
    Unten links KachelX 8229 KachelY + 1 6059 0.01418932 0.73957940 0.812988 42.374778
    Unten rechts KachelX + 1 8230 KachelY + 1 6059 0.01457282 0.73957940 0.834961 42.374778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73986267-0.73957940) × R
    0.000283269999999947 × 6371000     		dl = 1804.71316999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73986267-0.73957940) × R
    0.000283269999999947 × 6371000     		dr = 1804.71316999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01418932-0.01457282) × cos(0.73986267) × R
    0.0003835 × 0.738561151724616 × 6371000     		do = 1804.51058294399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01418932-0.01457282) × cos(0.73957940) × R
    0.0003835 × 0.738752098897704 × 6371000     		du = 1804.97712006663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73986267)-sin(0.73957940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738561151724616-0.738752098897704)×R²
    abs(0.01457282-0.01418932)×0.000190947173087763×R²
    0.0003835×0.000190947173087763×6371000²
    0.0003835×0.000190947173087763×40589641000000     		ar = 3257045.01906713m²