Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8224 / 6047
↖ ↑ ↗
← N 42.569264°
E  0.703125°		 ← 1 799.33 m → N 42.569264°
E  0.725098°		 →
↑
1 799.55 m
↓
↑
1 799.55 m
↓
N 42.553080°
E  0.703125°		 ← 1 799.80 m →
3 238 409 m²		 N 42.553080°
E  0.725098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501983642578125 y=0.369110107421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501983642578125 × 214)
    floor (0.501983642578125 × 16384)
    floor (8224.5)     		tx = 8224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369110107421875 × 214)
    floor (0.369110107421875 × 16384)
    floor (6047.5)     		ty = 6047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8224 / 6047 ti = "14/8224/6047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8224/6047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8224 ÷ 214
    8224 ÷ 16384     		x = 0.501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6047 ÷ 214
    6047 ÷ 16384     		y = 0.36907958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501953125 × 2 - 1) × π
    0.00390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01227185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36907958984375 × 2 - 1) × π
    0.2618408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.822597197480164
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01227185} λ = 0.01227185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.822597197480164))-π/2
    2×atan(2.27640443837728)-π/2
    2×1.15688507511214-π/2
    2.31377015022428-1.57079632675     		φ = 0.74297382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01227185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74297382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.569264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8224 KachelY 6047 0.01227185 0.74297382 0.703125 42.569264
    Oben rechts KachelX + 1 8225 KachelY 6047 0.01265534 0.74297382 0.725098 42.569264
    Unten links KachelX 8224 KachelY + 1 6048 0.01227185 0.74269136 0.703125 42.553080
    Unten rechts KachelX + 1 8225 KachelY + 1 6048 0.01265534 0.74269136 0.725098 42.553080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74297382-0.74269136) × R
    0.000282459999999984 × 6371000     		dl = 1799.5526599999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74297382-0.74269136) × R
    0.000282459999999984 × 6371000     		dr = 1799.5526599999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01227185-0.01265534) × cos(0.74297382) × R
    0.000383489999999998 × 0.73646008544792 × 6371000     		do = 1799.33017301101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01227185-0.01265534) × cos(0.74269136) × R
    0.000383489999999998 × 0.736651134889731 × 6371000     		du = 1799.79694783287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74297382)-sin(0.74269136))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73646008544792-0.736651134889731)×R²
    abs(0.01265534-0.01227185)×0.00019104944181092×R²
    0.000383489999999998×0.00019104944181092×6371000²
    0.000383489999999998×0.00019104944181092×40589641000000     		ar = 3238409.41352665m²