Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8222 / 6006
↖ ↑ ↗
← N 43.229195°
E  0.659180°		 ← 1 780.17 m → N 43.229195°
E  0.681152°		 →
↑
1 780.44 m
↓
↑
1 780.44 m
↓
N 43.213183°
E  0.659180°		 ← 1 780.64 m →
3 169 910 m²		 N 43.213183°
E  0.681152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501861572265625 y=0.366607666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501861572265625 × 214)
    floor (0.501861572265625 × 16384)
    floor (8222.5)     		tx = 8222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366607666015625 × 214)
    floor (0.366607666015625 × 16384)
    floor (6006.5)     		ty = 6006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8222 / 6006 ti = "14/8222/6006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8222/6006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8222 ÷ 214
    8222 ÷ 16384     		x = 0.5018310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6006 ÷ 214
    6006 ÷ 16384     		y = 0.3665771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5018310546875 × 2 - 1) × π
    0.003662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.01150486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    0.266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.838320500555542
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01150486} λ = 0.01150486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.838320500555542))-π/2
    2×atan(2.31247990481173)-π/2
    2×1.16264405725159-π/2
    2.32528811450317-1.57079632675     		φ = 0.75449179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01150486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75449179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.229195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8222 KachelY 6006 0.01150486 0.75449179 0.659180 43.229195
    Oben rechts KachelX + 1 8223 KachelY 6006 0.01188835 0.75449179 0.681152 43.229195
    Unten links KachelX 8222 KachelY + 1 6007 0.01150486 0.75421233 0.659180 43.213183
    Unten rechts KachelX + 1 8223 KachelY + 1 6007 0.01188835 0.75421233 0.681152 43.213183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75449179-0.75421233) × R
    0.000279460000000009 × 6371000     		dl = 1780.43966000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75449179-0.75421233) × R
    0.000279460000000009 × 6371000     		dr = 1780.43966000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01150486-0.01188835) × cos(0.75449179) × R
    0.00038349 × 0.728619719673954 × 6371000     		do = 1780.17447539306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01150486-0.01188835) × cos(0.75421233) × R
    0.00038349 × 0.728811098533943 × 6371000     		du = 1780.64205505428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75449179)-sin(0.75421233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728619719673954-0.728811098533943)×R²
    abs(0.01188835-0.01150486)×0.000191378859988212×R²
    0.00038349×0.000191378859988212×6371000²
    0.00038349×0.000191378859988212×40589641000000     		ar = 3169909.50702601m²