Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8221 / 6053
↖ ↑ ↗
← N 42.472097°
E  0.637207°		 ← 1 802.18 m → N 42.472097°
E  0.659180°		 →
↑
1 802.36 m
↓
↑
1 802.36 m
↓
N 42.455888°
E  0.637207°		 ← 1 802.64 m →
3 248 586 m²		 N 42.455888°
E  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501800537109375 y=0.369476318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501800537109375 × 214)
    floor (0.501800537109375 × 16384)
    floor (8221.5)     		tx = 8221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369476318359375 × 214)
    floor (0.369476318359375 × 16384)
    floor (6053.5)     		ty = 6053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8221 / 6053 ti = "14/8221/6053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8221/6053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8221 ÷ 214
    8221 ÷ 16384     		x = 0.50177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6053 ÷ 214
    6053 ÷ 16384     		y = 0.36944580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50177001953125 × 2 - 1) × π
    0.0035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01112136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36944580078125 × 2 - 1) × π
    0.2611083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.820296226298401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01112136} λ = 0.01112136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.820296226298401))-π/2
    2×atan(2.27117251892284)-π/2
    2×1.15603712903456-π/2
    2.31207425806913-1.57079632675     		φ = 0.74127793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01112136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.637207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74127793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.472097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8221 KachelY 6053 0.01112136 0.74127793 0.637207 42.472097
    Oben rechts KachelX + 1 8222 KachelY 6053 0.01150486 0.74127793 0.659180 42.472097
    Unten links KachelX 8221 KachelY + 1 6054 0.01112136 0.74099503 0.637207 42.455888
    Unten rechts KachelX + 1 8222 KachelY + 1 6054 0.01150486 0.74099503 0.659180 42.455888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74127793-0.74099503) × R
    0.000282899999999975 × 6371000     		dl = 1802.35589999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74127793-0.74099503) × R
    0.000282899999999975 × 6371000     		dr = 1802.35589999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01112136-0.01150486) × cos(0.74127793) × R
    0.0003835 × 0.737606263214923 × 6371000     		do = 1802.17752437836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01112136-0.01150486) × cos(0.74099503) × R
    0.0003835 × 0.737797256566414 × 6371000     		du = 1802.6441743277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74127793)-sin(0.74099503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737606263214923-0.737797256566414)×R²
    abs(0.01150486-0.01112136)×0.000190993351490754×R²
    0.0003835×0.000190993351490754×6371000²
    0.0003835×0.000190993351490754×40589641000000     		ar = 3248585.85022023m²