Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8221 / 6050
↖ ↑ ↗
← N 42.520700°
E  0.637207°		 ← 1 800.78 m → N 42.520700°
E  0.659180°		 →
↑
1 801.02 m
↓
↑
1 801.02 m
↓
N 42.504503°
E  0.637207°		 ← 1 801.24 m →
3 243 653 m²		 N 42.504503°
E  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501800537109375 y=0.369293212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501800537109375 × 214)
    floor (0.501800537109375 × 16384)
    floor (8221.5)     		tx = 8221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369293212890625 × 214)
    floor (0.369293212890625 × 16384)
    floor (6050.5)     		ty = 6050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8221 / 6050 ti = "14/8221/6050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8221/6050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8221 ÷ 214
    8221 ÷ 16384     		x = 0.50177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6050 ÷ 214
    6050 ÷ 16384     		y = 0.3692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50177001953125 × 2 - 1) × π
    0.0035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.01112136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3692626953125 × 2 - 1) × π
    0.261474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.821446711889282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01112136} λ = 0.01112136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.821446711889282))-π/2
    2×atan(2.27378697383824)-π/2
    2×1.15646126690623-π/2
    2.31292253381246-1.57079632675     		φ = 0.74212621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01112136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.637207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74212621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.520700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8221 KachelY 6050 0.01112136 0.74212621 0.637207 42.520700
    Oben rechts KachelX + 1 8222 KachelY 6050 0.01150486 0.74212621 0.659180 42.520700
    Unten links KachelX 8221 KachelY + 1 6051 0.01112136 0.74184352 0.637207 42.504503
    Unten rechts KachelX + 1 8222 KachelY + 1 6051 0.01150486 0.74184352 0.659180 42.504503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74212621-0.74184352) × R
    0.00028269000000003 × 6371000     		dl = 1801.01799000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74212621-0.74184352) × R
    0.00028269000000003 × 6371000     		dr = 1801.01799000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01112136-0.01150486) × cos(0.74212621) × R
    0.0003835 × 0.737033212886984 × 6371000     		do = 1800.77740283269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01112136-0.01150486) × cos(0.74184352) × R
    0.0003835 × 0.73722424131614 × 6371000     		du = 1801.24413848654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74212621)-sin(0.74184352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737033212886984-0.73722424131614)×R²
    abs(0.01150486-0.01112136)×0.000191028429155526×R²
    0.0003835×0.000191028429155526×6371000²
    0.0003835×0.000191028429155526×40589641000000     		ar = 3243652.81974265m²