Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8220 / 6057
↖ ↑ ↗
← N 42.407235°
E  0.615235°		 ← 1 804 m → N 42.407235°
E  0.637207°		 →
↑
1 804.27 m
↓
↑
1 804.27 m
↓
N 42.391008°
E  0.615235°		 ← 1 804.46 m →
3 255 313 m²		 N 42.391008°
E  0.637207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501739501953125 y=0.369720458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501739501953125 × 214)
    floor (0.501739501953125 × 16384)
    floor (8220.5)     		tx = 8220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369720458984375 × 214)
    floor (0.369720458984375 × 16384)
    floor (6057.5)     		ty = 6057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8220 / 6057 ti = "14/8220/6057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8220/6057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8220 ÷ 214
    8220 ÷ 16384     		x = 0.501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6057 ÷ 214
    6057 ÷ 16384     		y = 0.36968994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.501708984375 × 2 - 1) × π
    0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36968994140625 × 2 - 1) × π
    0.2606201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.818762245510559
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.01073787} λ = 0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.818762245510559))-π/2
    2×atan(2.26769125469181)-π/2
    2×1.15547109914378-π/2
    2.31094219828756-1.57079632675     		φ = 0.74014587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74014587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.407235°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8220 KachelY 6057 0.01073787 0.74014587 0.615235 42.407235
    Oben rechts KachelX + 1 8221 KachelY 6057 0.01112136 0.74014587 0.637207 42.407235
    Unten links KachelX 8220 KachelY + 1 6058 0.01073787 0.73986267 0.615235 42.391008
    Unten rechts KachelX + 1 8221 KachelY + 1 6058 0.01112136 0.73986267 0.637207 42.391008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74014587-0.73986267) × R
    0.000283200000000039 × 6371000     		dl = 1804.26720000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74014587-0.73986267) × R
    0.000283200000000039 × 6371000     		dr = 1804.26720000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.01073787-0.01112136) × cos(0.74014587) × R
    0.00038349 × 0.73837019249568 × 6371000     		do = 1803.99697480059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.01073787-0.01112136) × cos(0.73986267) × R
    0.00038349 × 0.738561151724616 × 6371000     		du = 1804.46352921302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74014587)-sin(0.73986267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73837019249568-0.738561151724616)×R²
    abs(0.01112136-0.01073787)×0.000190959228936638×R²
    0.00038349×0.000190959228936638×6371000²
    0.00038349×0.000190959228936638×40589641000000     		ar = 3255313.48670128m²