Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8211 / 8211
↖ ↑ ↗
← S  0.417477°
E  0.417481°		 ← 2 443.15 m → S  0.417477°
E  0.439453°		 →
↑
2 443.21 m
↓
↑
2 443.21 m
↓
S  0.439449°
E  0.417481°		 ← 2 443.14 m →
5 969 132 m²		 S  0.439449°
E  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501190185546875 y=0.501190185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501190185546875 × 214)
    floor (0.501190185546875 × 16384)
    floor (8211.5)     		tx = 8211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501190185546875 × 214)
    floor (0.501190185546875 × 16384)
    floor (8211.5)     		ty = 8211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8211 / 8211 ti = "14/8211/8211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8211/8211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8211 ÷ 214
    8211 ÷ 16384     		x = 0.50115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8211 ÷ 214
    8211 ÷ 16384     		y = 0.50115966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50115966796875 × 2 - 1) × π
    0.0023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00728641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50115966796875 × 2 - 1) × π
    -0.0023193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.00728640874224854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00728641} λ = 0.00728641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.00728640874224854))-π/2
    2×atan(0.992740072776506)-π/2
    2×0.781754991263247-π/2
    1.56350998252649-1.57079632675     		φ = -0.00728634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00728641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.00728634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.417477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8211 KachelY 8211 0.00728641 -0.00728634 0.417481 -0.417477
    Oben rechts KachelX + 1 8212 KachelY 8211 0.00766990 -0.00728634 0.439453 -0.417477
    Unten links KachelX 8211 KachelY + 1 8212 0.00728641 -0.00766983 0.417481 -0.439449
    Unten rechts KachelX + 1 8212 KachelY + 1 8212 0.00766990 -0.00766983 0.439453 -0.439449
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.00728634--0.00766983) × R
    0.00038349 × 6371000     		dl = 2443.21479m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.00728634--0.00766983) × R
    0.00038349 × 6371000     		dr = 2443.21479m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00728641-0.00766990) × cos(-0.00728634) × R
    0.00038349 × 0.999973454742145 × 6371000     		do = 2443.14993423341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00728641-0.00766990) × cos(-0.00766983) × R
    0.00038349 × 0.999970586998074 × 6371000     		du = 2443.14292771868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.00728634)-sin(-0.00766983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999973454742145-0.999970586998074)×R²
    abs(0.00766990-0.00728641)×2.86774407065593e-06×R²
    0.00038349×2.86774407065593e-06×6371000²
    0.00038349×2.86774407065593e-06×40589641000000     		ar = 5969131.56745037m²