Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8211 / 6036
↖ ↑ ↗
← N 42.747012°
E  0.417481°		 ← 1 794.19 m → N 42.747012°
E  0.439453°		 →
↑
1 794.46 m
↓
↑
1 794.46 m
↓
N 42.730874°
E  0.417481°		 ← 1 794.66 m →
3 220 021 m²		 N 42.730874°
E  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501190185546875 y=0.368438720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501190185546875 × 214)
    floor (0.501190185546875 × 16384)
    floor (8211.5)     		tx = 8211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368438720703125 × 214)
    floor (0.368438720703125 × 16384)
    floor (6036.5)     		ty = 6036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8211 / 6036 ti = "14/8211/6036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8211/6036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8211 ÷ 214
    8211 ÷ 16384     		x = 0.50115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6036 ÷ 214
    6036 ÷ 16384     		y = 0.368408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50115966796875 × 2 - 1) × π
    0.0023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00728641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.368408203125 × 2 - 1) × π
    0.26318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826815644646729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00728641} λ = 0.00728641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826815644646729))-π/2
    2×atan(2.28602761338739)-π/2
    2×1.15843621729482-π/2
    2.31687243458964-1.57079632675     		φ = 0.74607611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00728641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74607611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.747012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8211 KachelY 6036 0.00728641 0.74607611 0.417481 42.747012
    Oben rechts KachelX + 1 8212 KachelY 6036 0.00766990 0.74607611 0.439453 42.747012
    Unten links KachelX 8211 KachelY + 1 6037 0.00728641 0.74579445 0.417481 42.730874
    Unten rechts KachelX + 1 8212 KachelY + 1 6037 0.00766990 0.74579445 0.439453 42.730874
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74607611-0.74579445) × R
    0.000281659999999961 × 6371000     		dl = 1794.45585999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74607611-0.74579445) × R
    0.000281659999999961 × 6371000     		dr = 1794.45585999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00728641-0.00766990) × cos(0.74607611) × R
    0.00038349 × 0.734357904656667 × 6371000     		do = 1794.19409381058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00728641-0.00766990) × cos(0.74579445) × R
    0.00038349 × 0.734549055757535 × 6371000     		du = 1794.66111700735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74607611)-sin(0.74579445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734357904656667-0.734549055757535)×R²
    abs(0.00766990-0.00728641)×0.000191151100868314×R²
    0.00038349×0.000191151100868314×6371000²
    0.00038349×0.000191151100868314×40589641000000     		ar = 3220021.15315843m²