Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8211 / 6027
↖ ↑ ↗
← N 42.892064°
E  0.417481°		 ← 1 789.99 m → N 42.892064°
E  0.439453°		 →
↑
1 790.25 m
↓
↑
1 790.25 m
↓
N 42.875964°
E  0.417481°		 ← 1 790.46 m →
3 204 950 m²		 N 42.875964°
E  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501190185546875 y=0.367889404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501190185546875 × 214)
    floor (0.501190185546875 × 16384)
    floor (8211.5)     		tx = 8211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367889404296875 × 214)
    floor (0.367889404296875 × 16384)
    floor (6027.5)     		ty = 6027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8211 / 6027 ti = "14/8211/6027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8211/6027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8211 ÷ 214
    8211 ÷ 16384     		x = 0.50115966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6027 ÷ 214
    6027 ÷ 16384     		y = 0.36785888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50115966796875 × 2 - 1) × π
    0.0023193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00728641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36785888671875 × 2 - 1) × π
    0.2642822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.830267101419373
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00728641} λ = 0.00728641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.830267101419373))-π/2
    2×atan(2.29393137076838)-π/2
    2×1.15970203491807-π/2
    2.31940406983614-1.57079632675     		φ = 0.74860774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00728641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.417481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74860774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.892064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8211 KachelY 6027 0.00728641 0.74860774 0.417481 42.892064
    Oben rechts KachelX + 1 8212 KachelY 6027 0.00766990 0.74860774 0.439453 42.892064
    Unten links KachelX 8211 KachelY + 1 6028 0.00728641 0.74832674 0.417481 42.875964
    Unten rechts KachelX + 1 8212 KachelY + 1 6028 0.00766990 0.74832674 0.439453 42.875964
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74860774-0.74832674) × R
    0.000280999999999976 × 6371000     		dl = 1790.25099999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74860774-0.74832674) × R
    0.000280999999999976 × 6371000     		dr = 1790.25099999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00728641-0.00766990) × cos(0.74860774) × R
    0.00038349 × 0.732637177798944 × 6371000     		do = 1789.98998850224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00728641-0.00766990) × cos(0.74832674) × R
    0.00038349 × 0.732828402922542 × 6371000     		du = 1790.45719255244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74860774)-sin(0.74832674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732637177798944-0.732828402922542)×R²
    abs(0.00766990-0.00728641)×0.000191225123598704×R²
    0.00038349×0.000191225123598704×6371000²
    0.00038349×0.000191225123598704×40589641000000     		ar = 3204949.59425281m²