Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8209 / 6037
↖ ↑ ↗
← N 42.730874°
E  0.373535°		 ← 1 794.66 m → N 42.730874°
E  0.395508°		 →
↑
1 794.90 m
↓
↑
1 794.90 m
↓
N 42.714732°
E  0.373535°		 ← 1 795.13 m →
3 221 660 m²		 N 42.714732°
E  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501068115234375 y=0.368499755859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501068115234375 × 214)
    floor (0.501068115234375 × 16384)
    floor (8209.5)     		tx = 8209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368499755859375 × 214)
    floor (0.368499755859375 × 16384)
    floor (6037.5)     		ty = 6037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8209 / 6037 ti = "14/8209/6037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8209/6037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8209 ÷ 214
    8209 ÷ 16384     		x = 0.50103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6037 ÷ 214
    6037 ÷ 16384     		y = 0.36846923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50103759765625 × 2 - 1) × π
    0.0020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00651942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36846923828125 × 2 - 1) × π
    0.2630615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.826432149449768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00651942} λ = 0.00651942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.826432149449768))-π/2
    2×atan(2.28515110085745)-π/2
    2×1.15829538760341-π/2
    2.31659077520683-1.57079632675     		φ = 0.74579445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00651942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74579445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.730874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8209 KachelY 6037 0.00651942 0.74579445 0.373535 42.730874
    Oben rechts KachelX + 1 8210 KachelY 6037 0.00690291 0.74579445 0.395508 42.730874
    Unten links KachelX 8209 KachelY + 1 6038 0.00651942 0.74551272 0.373535 42.714732
    Unten rechts KachelX + 1 8210 KachelY + 1 6038 0.00690291 0.74551272 0.395508 42.714732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74579445-0.74551272) × R
    0.00028172999999998 × 6371000     		dl = 1794.90182999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74579445-0.74551272) × R
    0.00028172999999998 × 6371000     		dr = 1794.90182999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00651942-0.00690291) × cos(0.74579445) × R
    0.00038349 × 0.734549055757535 × 6371000     		do = 1794.66111700735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00651942-0.00690291) × cos(0.74551272) × R
    0.00038349 × 0.734740196069302 × 6371000     		du = 1795.12811384402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74579445)-sin(0.74551272))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734549055757535-0.734740196069302)×R²
    abs(0.00690291-0.00651942)×0.000191140311766591×R²
    0.00038349×0.000191140311766591×6371000²
    0.00038349×0.000191140311766591×40589641000000     		ar = 3221659.65119397m²