Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8209 / 6035
↖ ↑ ↗
← N 42.763146°
E  0.373535°		 ← 1 793.73 m → N 42.763146°
E  0.395508°		 →
↑
1 793.95 m
↓
↑
1 793.95 m
↓
N 42.747012°
E  0.373535°		 ← 1 794.19 m →
3 218 269 m²		 N 42.747012°
E  0.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.501068115234375 y=0.368377685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.501068115234375 × 214)
    floor (0.501068115234375 × 16384)
    floor (8209.5)     		tx = 8209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368377685546875 × 214)
    floor (0.368377685546875 × 16384)
    floor (6035.5)     		ty = 6035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8209 / 6035 ti = "14/8209/6035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8209/6035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8209 ÷ 214
    8209 ÷ 16384     		x = 0.50103759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6035 ÷ 214
    6035 ÷ 16384     		y = 0.36834716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50103759765625 × 2 - 1) × π
    0.0020751953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.00651942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36834716796875 × 2 - 1) × π
    0.2633056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.827199139843689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00651942} λ = 0.00651942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.827199139843689))-π/2
    2×atan(2.28690446212013)-π/2
    2×1.15857701033273-π/2
    2.31715402066546-1.57079632675     		φ = 0.74635769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00651942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74635769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.763146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8209 KachelY 6035 0.00651942 0.74635769 0.373535 42.763146
    Oben rechts KachelX + 1 8210 KachelY 6035 0.00690291 0.74635769 0.395508 42.763146
    Unten links KachelX 8209 KachelY + 1 6036 0.00651942 0.74607611 0.373535 42.747012
    Unten rechts KachelX + 1 8210 KachelY + 1 6036 0.00690291 0.74607611 0.395508 42.747012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74635769-0.74607611) × R
    0.000281580000000003 × 6371000     		dl = 1793.94618000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74635769-0.74607611) × R
    0.000281580000000003 × 6371000     		dr = 1793.94618000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00651942-0.00690291) × cos(0.74635769) × R
    0.00038349 × 0.734166749614995 × 6371000     		do = 1793.72706098558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00651942-0.00690291) × cos(0.74607611) × R
    0.00038349 × 0.734357904656667 × 6371000     		du = 1794.19409381058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74635769)-sin(0.74607611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.734166749614995-0.734357904656667)×R²
    abs(0.00690291-0.00651942)×0.000191155041671442×R²
    0.00038349×0.000191155041671442×6371000²
    0.00038349×0.000191155041671442×40589641000000     		ar = 3218268.74615706m²