Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8206 / 6033
↖ ↑ ↗
← N 42.795401°
E  0.307617°		 ← 1 792.84 m → N 42.795401°
E  0.329590°		 →
↑
1 793.05 m
↓
↑
1 793.05 m
↓
N 42.779276°
E  0.307617°		 ← 1 793.31 m →
3 215 078 m²		 N 42.779276°
E  0.329590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500885009765625 y=0.368255615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500885009765625 × 214)
    floor (0.500885009765625 × 16384)
    floor (8206.5)     		tx = 8206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368255615234375 × 214)
    floor (0.368255615234375 × 16384)
    floor (6033.5)     		ty = 6033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8206 / 6033 ti = "14/8206/6033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8206/6033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8206 ÷ 214
    8206 ÷ 16384     		x = 0.5008544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6033 ÷ 214
    6033 ÷ 16384     		y = 0.36822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5008544921875 × 2 - 1) × π
    0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36822509765625 × 2 - 1) × π
    0.2635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.82796613023761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00536893} λ = 0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82796613023761))-π/2
    2×atan(2.28865916870992)-π/2
    2×1.15885848644158-π/2
    2.31771697288316-1.57079632675     		φ = 0.74692065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74692065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.795401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8206 KachelY 6033 0.00536893 0.74692065 0.307617 42.795401
    Oben rechts KachelX + 1 8207 KachelY 6033 0.00575243 0.74692065 0.329590 42.795401
    Unten links KachelX 8206 KachelY + 1 6034 0.00536893 0.74663921 0.307617 42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 8207 KachelY + 1 6034 0.00575243 0.74663921 0.329590 42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74692065-0.74663921) × R
    0.000281439999999966 × 6371000     		dl = 1793.05423999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74692065-0.74663921) × R
    0.000281439999999966 × 6371000     		dr = 1793.05423999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00536893-0.00575243) × cos(0.74692065) × R
    0.0003835 × 0.73378440079302 × 6371000     		do = 1792.83965009297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00536893-0.00575243) × cos(0.74663921) × R
    0.0003835 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 1793.30674708719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74692065)-sin(0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73378440079302-0.733975577113781)×R²
    abs(0.00575243-0.00536893)×0.000191176320760489×R²
    0.0003835×0.000191176320760489×6371000²
    0.0003835×0.000191176320760489×40589641000000     		ar = 3215077.52258498m²