Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8204 / 5386
↖ ↑ ↗
← N 52.348763°
E  0.263672°		 ← 1 492.49 m → N 52.348763°
E  0.285645°		 →
↑
1 492.73 m
↓
↑
1 492.73 m
↓
N 52.335339°
E  0.263672°		 ← 1 492.94 m →
2 228 208 m²		 N 52.335339°
E  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8204 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500762939453125 y=0.328765869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500762939453125 × 214)
    floor (0.500762939453125 × 16384)
    floor (8204.5)     		tx = 8204
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328765869140625 × 214)
    floor (0.328765869140625 × 16384)
    floor (5386.5)     		ty = 5386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8204 / 5386 ti = "14/8204/5386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8204/5386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8204 ÷ 214
    8204 ÷ 16384     		x = 0.500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5386 ÷ 214
    5386 ÷ 16384     		y = 0.3287353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.500732421875 × 2 - 1) × π
    0.00146484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00460194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3287353515625 × 2 - 1) × π
    0.342529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.07608752267102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00460194} λ = 0.00460194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07608752267102))-π/2
    2×atan(2.93318106752668)-π/2
    2×1.24222730182429-π/2
    2.48445460364858-1.57079632675     		φ = 0.91365828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00460194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91365828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.348763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8204 KachelY 5386 0.00460194 0.91365828 0.263672 52.348763
    Oben rechts KachelX + 1 8205 KachelY 5386 0.00498544 0.91365828 0.285645 52.348763
    Unten links KachelX 8204 KachelY + 1 5387 0.00460194 0.91342398 0.263672 52.335339
    Unten rechts KachelX + 1 8205 KachelY + 1 5387 0.00498544 0.91342398 0.285645 52.335339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91365828-0.91342398) × R
    0.000234300000000021 × 6371000     		dl = 1492.72530000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91365828-0.91342398) × R
    0.000234300000000021 × 6371000     		dr = 1492.72530000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00460194-0.00498544) × cos(0.91365828) × R
    0.0003835 × 0.610853423311212 × 6371000     		do = 1492.48503582768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00460194-0.00498544) × cos(0.91342398) × R
    0.0003835 × 0.611038912092863 × 6371000     		du = 1492.93823657988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91365828)-sin(0.91342398))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610853423311212-0.611038912092863)×R²
    abs(0.00498544-0.00460194)×0.000185488781651477×R²
    0.0003835×0.000185488781651477×6371000²
    0.0003835×0.000185488781651477×40589641000000     		ar = 2228208.43515952m²