Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8203 / 6033
↖ ↑ ↗
← N 42.795401°
E  0.241699°		 ← 1 792.79 m → N 42.795401°
E  0.263672°		 →
↑
1 793.05 m
↓
↑
1 793.05 m
↓
N 42.779276°
E  0.241699°		 ← 1 793.26 m →
3 214 994 m²		 N 42.779276°
E  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.500701904296875 y=0.368255615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.500701904296875 × 214)
    floor (0.500701904296875 × 16384)
    floor (8203.5)     		tx = 8203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.368255615234375 × 214)
    floor (0.368255615234375 × 16384)
    floor (6033.5)     		ty = 6033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8203 / 6033 ti = "14/8203/6033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8203/6033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8203 ÷ 214
    8203 ÷ 16384     		x = 0.50067138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6033 ÷ 214
    6033 ÷ 16384     		y = 0.36822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50067138671875 × 2 - 1) × π
    0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36822509765625 × 2 - 1) × π
    0.2635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.82796613023761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.00421845} λ = 0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.82796613023761))-π/2
    2×atan(2.28865916870992)-π/2
    2×1.15885848644158-π/2
    2.31771697288316-1.57079632675     		φ = 0.74692065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74692065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.795401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8203 KachelY 6033 0.00421845 0.74692065 0.241699 42.795401
    Oben rechts KachelX + 1 8204 KachelY 6033 0.00460194 0.74692065 0.263672 42.795401
    Unten links KachelX 8203 KachelY + 1 6034 0.00421845 0.74663921 0.241699 42.779276
    Unten rechts KachelX + 1 8204 KachelY + 1 6034 0.00460194 0.74663921 0.263672 42.779276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74692065-0.74663921) × R
    0.000281439999999966 × 6371000     		dl = 1793.05423999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74692065-0.74663921) × R
    0.000281439999999966 × 6371000     		dr = 1793.05423999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.00421845-0.00460194) × cos(0.74692065) × R
    0.000383489999999999 × 0.73378440079302 × 6371000     		do = 1792.79290068879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.00421845-0.00460194) × cos(0.74663921) × R
    0.000383489999999999 × 0.733975577113781 × 6371000     		du = 1793.25998550317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74692065)-sin(0.74663921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73378440079302-0.733975577113781)×R²
    abs(0.00460194-0.00421845)×0.000191176320760489×R²
    0.000383489999999999×0.000191176320760489×6371000²
    0.000383489999999999×0.000191176320760489×40589641000000     		ar = 3214993.68744749m²