Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8187 / 6054
↖ ↑ ↗
← N 42.455888°
W  0.109864°		 ← 1 802.64 m → N 42.455888°
W  0.087891°		 →
↑
1 802.87 m
↓
↑
1 802.87 m
↓
N 42.439674°
W  0.109864°		 ← 1 803.11 m →
3 250 346 m²		 N 42.439674°
W  0.087891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499725341796875 y=0.369537353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499725341796875 × 214)
    floor (0.499725341796875 × 16384)
    floor (8187.5)     		tx = 8187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.369537353515625 × 214)
    floor (0.369537353515625 × 16384)
    floor (6054.5)     		ty = 6054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8187 / 6054 ti = "14/8187/6054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8187/6054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8187 ÷ 214
    8187 ÷ 16384     		x = 0.49969482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6054 ÷ 214
    6054 ÷ 16384     		y = 0.3695068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49969482421875 × 2 - 1) × π
    -0.0006103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00191748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3695068359375 × 2 - 1) × π
    0.260986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.81991273110144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00191748} λ = -0.00191748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.81991273110144))-π/2
    2×atan(2.27030170215806)-π/2
    2×1.15589567649339-π/2
    2.31179135298678-1.57079632675     		φ = 0.74099503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00191748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.109864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.74099503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.455888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8187 KachelY 6054 -0.00191748 0.74099503 -0.109864 42.455888
    Oben rechts KachelX + 1 8188 KachelY 6054 -0.00153398 0.74099503 -0.087891 42.455888
    Unten links KachelX 8187 KachelY + 1 6055 -0.00191748 0.74071205 -0.109864 42.439674
    Unten rechts KachelX + 1 8188 KachelY + 1 6055 -0.00153398 0.74071205 -0.087891 42.439674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.74099503-0.74071205) × R
    0.000282980000000044 × 6371000     		dl = 1802.86558000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.74099503-0.74071205) × R
    0.000282980000000044 × 6371000     		dr = 1802.86558000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00191748--0.00153398) × cos(0.74099503) × R
    0.0003835 × 0.737797256566414 × 6371000     		do = 1802.6441743277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00191748--0.00153398) × cos(0.74071205) × R
    0.0003835 × 0.7379882448553 × 6371000     		du = 1803.11081190769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.74099503)-sin(0.74071205))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737797256566414-0.7379882448553)×R²
    abs(-0.00153398--0.00191748)×0.000190988288886307×R²
    0.0003835×0.000190988288886307×6371000²
    0.0003835×0.000190988288886307×40589641000000     		ar = 3250345.79898904m²