Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8186 / 5786
↖ ↑ ↗
← N 46.649436°
W  0.131836°		 ← 1 677.17 m → N 46.649436°
W  0.109864°		 →
↑
1 677.48 m
↓
↑
1 677.48 m
↓
N 46.634350°
W  0.131836°		 ← 1 677.64 m →
2 813 819 m²		 N 46.634350°
W  0.109864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499664306640625 y=0.353179931640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499664306640625 × 214)
    floor (0.499664306640625 × 16384)
    floor (8186.5)     		tx = 8186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353179931640625 × 214)
    floor (0.353179931640625 × 16384)
    floor (5786.5)     		ty = 5786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8186 / 5786 ti = "14/8186/5786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8186/5786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8186 ÷ 214
    8186 ÷ 16384     		x = 0.4996337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5786 ÷ 214
    5786 ÷ 16384     		y = 0.3531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.000732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00230097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3531494140625 × 2 - 1) × π
    0.293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.922689443886841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00230097} λ = -0.00230097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.922689443886841))-π/2
    2×atan(2.51604806876157)-π/2
    2×1.19249129101308-π/2
    2.38498258202617-1.57079632675     		φ = 0.81418626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00230097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.131836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81418626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.649436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8186 KachelY 5786 -0.00230097 0.81418626 -0.131836 46.649436
    Oben rechts KachelX + 1 8187 KachelY 5786 -0.00191748 0.81418626 -0.109864 46.649436
    Unten links KachelX 8186 KachelY + 1 5787 -0.00230097 0.81392296 -0.131836 46.634350
    Unten rechts KachelX + 1 8187 KachelY + 1 5787 -0.00191748 0.81392296 -0.109864 46.634350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81418626-0.81392296) × R
    0.000263300000000077 × 6371000     		dl = 1677.48430000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81418626-0.81392296) × R
    0.000263300000000077 × 6371000     		dr = 1677.48430000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00230097--0.00191748) × cos(0.81418626) × R
    0.00038349 × 0.686460345738307 × 6371000     		do = 1677.17006945634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00230097--0.00191748) × cos(0.81392296) × R
    0.00038349 × 0.686651785075089 × 6371000     		du = 1677.63779687536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81418626)-sin(0.81392296))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686460345738307-0.686651785075089)×R²
    abs(-0.00191748--0.00230097)×0.000191439336782229×R²
    0.00038349×0.000191439336782229×6371000²
    0.00038349×0.000191439336782229×40589641000000     		ar = 2813818.77890202m²