Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8185 / 5581
↖ ↑ ↗
← N 49.653404°
W  0.153809°		 ← 1 581.80 m → N 49.653404°
W  0.131836°		 →
↑
1 581.98 m
↓
↑
1 581.98 m
↓
N 49.639177°
W  0.153809°		 ← 1 582.26 m →
2 502 750 m²		 N 49.639177°
W  0.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5581 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499603271484375 y=0.340667724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499603271484375 × 214)
    floor (0.499603271484375 × 16384)
    floor (8185.5)     		tx = 8185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340667724609375 × 214)
    floor (0.340667724609375 × 16384)
    floor (5581.5)     		ty = 5581
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8185 / 5581 ti = "14/8185/5581"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8185/5581.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8185 ÷ 214
    8185 ÷ 16384     		x = 0.49957275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5581 ÷ 214
    5581 ÷ 16384     		y = 0.34063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49957275390625 × 2 - 1) × π
    -0.0008544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00268447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34063720703125 × 2 - 1) × π
    0.3187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.00130595926373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00268447} λ = -0.00268447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00130595926373))-π/2
    2×atan(2.72183411285884)-π/2
    2×1.21870586083473-π/2
    2.43741172166947-1.57079632675     		φ = 0.86661539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00268447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.153809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86661539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.653404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8185 KachelY 5581 -0.00268447 0.86661539 -0.153809 49.653404
    Oben rechts KachelX + 1 8186 KachelY 5581 -0.00230097 0.86661539 -0.131836 49.653404
    Unten links KachelX 8185 KachelY + 1 5582 -0.00268447 0.86636708 -0.153809 49.639177
    Unten rechts KachelX + 1 8186 KachelY + 1 5582 -0.00230097 0.86636708 -0.131836 49.639177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86661539-0.86636708) × R
    0.000248310000000029 × 6371000     		dl = 1581.98301000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86661539-0.86636708) × R
    0.000248310000000029 × 6371000     		dr = 1581.98301000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00268447--0.00230097) × cos(0.86661539) × R
    0.0003835 × 0.647409804235281 × 6371000     		do = 1581.80245537727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00268447--0.00230097) × cos(0.86636708) × R
    0.0003835 × 0.647599031773501 × 6371000     		du = 1582.26479095301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86661539)-sin(0.86636708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647409804235281-0.647599031773501)×R²
    abs(-0.00230097--0.00268447)×0.000189227538219927×R²
    0.0003835×0.000189227538219927×6371000²
    0.0003835×0.000189227538219927×40589641000000     		ar = 2502750.32595443m²