Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8181 / 8221
↖ ↑ ↗
← S  0.637194°
W  0.241699°		 ← 2 443.13 m → S  0.637194°
W  0.219726°		 →
↑
2 443.09 m
↓
↑
2 443.09 m
↓
S  0.659165°
W  0.241699°		 ← 2 443.12 m →
5 968 761 m²		 S  0.659165°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499359130859375 y=0.501800537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499359130859375 × 214)
    floor (0.499359130859375 × 16384)
    floor (8181.5)     		tx = 8181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.501800537109375 × 214)
    floor (0.501800537109375 × 16384)
    floor (8221.5)     		ty = 8221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8181 / 8221 ti = "14/8181/8221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8181/8221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8181 ÷ 214
    8181 ÷ 16384     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8221 ÷ 214
    8221 ÷ 16384     		y = 0.50177001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.50177001953125 × 2 - 1) × π
    -0.0035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.011121360711853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.011121360711853))-π/2
    2×atan(0.988940252999225)-π/2
    2×0.779837597666458-π/2
    1.55967519533292-1.57079632675     		φ = -0.01112113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.01112113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -0.637194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8181 KachelY 8221 -0.00421845 -0.01112113 -0.241699 -0.637194
    Oben rechts KachelX + 1 8182 KachelY 8221 -0.00383495 -0.01112113 -0.219726 -0.637194
    Unten links KachelX 8181 KachelY + 1 8222 -0.00421845 -0.01150460 -0.241699 -0.659165
    Unten rechts KachelX + 1 8182 KachelY + 1 8222 -0.00383495 -0.01150460 -0.219726 -0.659165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.01112113--0.01150460) × R
    0.00038347 × 6371000     		dl = 2443.08737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.01112113--0.01150460) × R
    0.00038347 × 6371000     		dr = 2443.08737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00383495) × cos(-0.01112113) × R
    0.0003835 × 0.999938160871118 × 6371000     		do = 2443.12740978595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00383495) × cos(-0.01150460) × R
    0.0003835 × 0.999933822819336 × 6371000     		du = 2443.11681071729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.01112113)-sin(-0.01150460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999938160871118-0.999933822819336)×R²
    abs(-0.00383495--0.00421845)×4.33805178234881e-06×R²
    0.0003835×4.33805178234881e-06×6371000²
    0.0003835×4.33805178234881e-06×40589641000000     		ar = 5968760.8440653m²