Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8181 / 6066
↖ ↑ ↗
← N 42.261049°
W  0.241699°		 ← 1 808.24 m → N 42.261049°
W  0.219726°		 →
↑
1 808.41 m
↓
↑
1 808.41 m
↓
N 42.244786°
W  0.241699°		 ← 1 808.71 m →
3 270 462 m²		 N 42.244786°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499359130859375 y=0.370269775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499359130859375 × 214)
    floor (0.499359130859375 × 16384)
    floor (8181.5)     		tx = 8181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370269775390625 × 214)
    floor (0.370269775390625 × 16384)
    floor (6066.5)     		ty = 6066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8181 / 6066 ti = "14/8181/6066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8181/6066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8181 ÷ 214
    8181 ÷ 16384     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6066 ÷ 214
    6066 ÷ 16384     		y = 0.3702392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3702392578125 × 2 - 1) × π
    0.259521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.815310788737915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.815310788737915))-π/2
    2×atan(2.25987790782343)-π/2
    2×1.15419539000186-π/2
    2.30839078000373-1.57079632675     		φ = 0.73759445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73759445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.261049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8181 KachelY 6066 -0.00421845 0.73759445 -0.241699 42.261049
    Oben rechts KachelX + 1 8182 KachelY 6066 -0.00383495 0.73759445 -0.219726 42.261049
    Unten links KachelX 8181 KachelY + 1 6067 -0.00421845 0.73731060 -0.241699 42.244786
    Unten rechts KachelX + 1 8182 KachelY + 1 6067 -0.00383495 0.73731060 -0.219726 42.244786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73759445-0.73731060) × R
    0.000283849999999974 × 6371000     		dl = 1808.40834999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73759445-0.73731060) × R
    0.000283849999999974 × 6371000     		dr = 1808.40834999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00383495) × cos(0.73759445) × R
    0.0003835 × 0.74008845381485 × 6371000     		do = 1808.24220730407m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00383495) × cos(0.73731060) × R
    0.0003835 × 0.740279315830266 × 6371000     		du = 1808.7085363628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73759445)-sin(0.73731060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74008845381485-0.740279315830266)×R²
    abs(-0.00383495--0.00421845)×0.000190862015416293×R²
    0.0003835×0.000190862015416293×6371000²
    0.0003835×0.000190862015416293×40589641000000     		ar = 3270461.98515089m²