Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8181 / 6010
↖ ↑ ↗
← N 43.165123°
W  0.241699°		 ← 1 782.09 m → N 43.165123°
W  0.219726°		 →
↑
1 782.29 m
↓
↑
1 782.29 m
↓
N 43.149094°
W  0.241699°		 ← 1 782.56 m →
3 176 615 m²		 N 43.149094°
W  0.219726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499359130859375 y=0.366851806640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499359130859375 × 214)
    floor (0.499359130859375 × 16384)
    floor (8181.5)     		tx = 8181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366851806640625 × 214)
    floor (0.366851806640625 × 16384)
    floor (6010.5)     		ty = 6010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8181 / 6010 ti = "14/8181/6010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8181/6010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8181 ÷ 214
    8181 ÷ 16384     		x = 0.49932861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6010 ÷ 214
    6010 ÷ 16384     		y = 0.3668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.0013427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00421845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3668212890625 × 2 - 1) × π
    0.266357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.8367865197677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00421845} λ = -0.00421845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.8367865197677))-π/2
    2×atan(2.30893532441965)-π/2
    2×1.16208491936285-π/2
    2.32416983872569-1.57079632675     		φ = 0.75337351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00421845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.241699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75337351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.165123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8181 KachelY 6010 -0.00421845 0.75337351 -0.241699 43.165123
    Oben rechts KachelX + 1 8182 KachelY 6010 -0.00383495 0.75337351 -0.219726 43.165123
    Unten links KachelX 8181 KachelY + 1 6011 -0.00421845 0.75309376 -0.241699 43.149094
    Unten rechts KachelX + 1 8182 KachelY + 1 6011 -0.00383495 0.75309376 -0.219726 43.149094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75337351-0.75309376) × R
    0.000279750000000023 × 6371000     		dl = 1782.28725000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75337351-0.75309376) × R
    0.000279750000000023 × 6371000     		dr = 1782.28725000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00421845--0.00383495) × cos(0.75337351) × R
    0.0003835 × 0.72938519454798 × 6371000     		do = 1782.0911640574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00421845--0.00383495) × cos(0.75309376) × R
    0.0003835 × 0.729576543884985 × 6371000     		du = 1782.55868377849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75337351)-sin(0.75309376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72938519454798-0.729576543884985)×R²
    abs(-0.00383495--0.00421845)×0.000191349337005375×R²
    0.0003835×0.000191349337005375×6371000²
    0.0003835×0.000191349337005375×40589641000000     		ar = 3176615.00797217m²