Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8179 / 6064
↖ ↑ ↗
← N 42.293564°
W  0.285645°		 ← 1 807.31 m → N 42.293564°
W  0.263672°		 →
↑
1 807.52 m
↓
↑
1 807.52 m
↓
N 42.277309°
W  0.285645°		 ← 1 807.78 m →
3 267 163 m²		 N 42.277309°
W  0.263672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499237060546875 y=0.370147705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499237060546875 × 214)
    floor (0.499237060546875 × 16384)
    floor (8179.5)     		tx = 8179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.370147705078125 × 214)
    floor (0.370147705078125 × 16384)
    floor (6064.5)     		ty = 6064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8179 / 6064 ti = "14/8179/6064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8179/6064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8179 ÷ 214
    8179 ÷ 16384     		x = 0.49920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6064 ÷ 214
    6064 ÷ 16384     		y = 0.3701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49920654296875 × 2 - 1) × π
    -0.0015869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00498544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3701171875 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.816077779131836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00498544} λ = -0.00498544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.816077779131836))-π/2
    2×atan(2.26161187735414)-π/2
    2×1.15447913716729-π/2
    2.30895827433459-1.57079632675     		φ = 0.73816195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00498544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.285645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73816195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.293564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8179 KachelY 6064 -0.00498544 0.73816195 -0.285645 42.293564
    Oben rechts KachelX + 1 8180 KachelY 6064 -0.00460194 0.73816195 -0.263672 42.293564
    Unten links KachelX 8179 KachelY + 1 6065 -0.00498544 0.73787824 -0.285645 42.277309
    Unten rechts KachelX + 1 8180 KachelY + 1 6065 -0.00460194 0.73787824 -0.263672 42.277309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73816195-0.73787824) × R
    0.000283709999999937 × 6371000     		dl = 1807.5164099996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73816195-0.73787824) × R
    0.000283709999999937 × 6371000     		dr = 1807.5164099996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00498544--0.00460194) × cos(0.73816195) × R
    0.0003835 × 0.739706685496696 × 6371000     		do = 1807.30944098034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00498544--0.00460194) × cos(0.73787824) × R
    0.0003835 × 0.739897572533072 × 6371000     		du = 1807.77583117225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73816195)-sin(0.73787824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739706685496696-0.739897572533072)×R²
    abs(-0.00460194--0.00498544)×0.000190887036376486×R²
    0.0003835×0.000190887036376486×6371000²
    0.0003835×0.000190887036376486×40589641000000     		ar = 3267162.99839767m²