Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8178 / 5777
↖ ↑ ↗
← N 46.785016°
W  0.307617°		 ← 1 672.96 m → N 46.785016°
W  0.285645°		 →
↑
1 673.22 m
↓
↑
1 673.22 m
↓
N 46.769968°
W  0.307617°		 ← 1 673.43 m →
2 799 616 m²		 N 46.769968°
W  0.285645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8178 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499176025390625 y=0.352630615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499176025390625 × 214)
    floor (0.499176025390625 × 16384)
    floor (8178.5)     		tx = 8178
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352630615234375 × 214)
    floor (0.352630615234375 × 16384)
    floor (5777.5)     		ty = 5777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8178 / 5777 ti = "14/8178/5777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8178/5777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8178 ÷ 214
    8178 ÷ 16384     		x = 0.4991455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5777 ÷ 214
    5777 ÷ 16384     		y = 0.35260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.001708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.00536893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35260009765625 × 2 - 1) × π
    0.2947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.926140900659485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00536893} λ = -0.00536893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.926140900659485))-π/2
    2×atan(2.52474710344424)-π/2
    2×1.19367444866006-π/2
    2.38734889732012-1.57079632675     		φ = 0.81655257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00536893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.307617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81655257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.785016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8178 KachelY 5777 -0.00536893 0.81655257 -0.307617 46.785016
    Oben rechts KachelX + 1 8179 KachelY 5777 -0.00498544 0.81655257 -0.285645 46.785016
    Unten links KachelX 8178 KachelY + 1 5778 -0.00536893 0.81628994 -0.307617 46.769968
    Unten rechts KachelX + 1 8179 KachelY + 1 5778 -0.00498544 0.81628994 -0.285645 46.769968
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81655257-0.81628994) × R
    0.000262630000000041 × 6371000     		dl = 1673.21573000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81655257-0.81628994) × R
    0.000262630000000041 × 6371000     		dr = 1673.21573000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00536893--0.00498544) × cos(0.81655257) × R
    0.00038349 × 0.684737722344366 × 6371000     		do = 1672.96133050267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00536893--0.00498544) × cos(0.81628994) × R
    0.00038349 × 0.684929100734778 × 6371000     		du = 1673.42890901661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81655257)-sin(0.81628994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.684737722344366-0.684929100734778)×R²
    abs(-0.00498544--0.00536893)×0.000191378390411168×R²
    0.00038349×0.000191378390411168×6371000²
    0.00038349×0.000191378390411168×40589641000000     		ar = 2799616.40983356m²