Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8177 / 6021
↖ ↑ ↗
← N 42.988576°
W  0.329590°		 ← 1 787.23 m → N 42.988576°
W  0.307617°		 →
↑
1 787.45 m
↓
↑
1 787.45 m
↓
N 42.972502°
W  0.329590°		 ← 1 787.70 m →
3 195 003 m²		 N 42.972502°
W  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499114990234375 y=0.367523193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499114990234375 × 214)
    floor (0.499114990234375 × 16384)
    floor (8177.5)     		tx = 8177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367523193359375 × 214)
    floor (0.367523193359375 × 16384)
    floor (6021.5)     		ty = 6021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8177 / 6021 ti = "14/8177/6021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8177/6021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8177 ÷ 214
    8177 ÷ 16384     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6021 ÷ 214
    6021 ÷ 16384     		y = 0.36749267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36749267578125 × 2 - 1) × π
    0.2650146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.832568072601135
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.832568072601135))-π/2
    2×atan(2.2992157179793)-π/2
    2×1.16054426336026-π/2
    2.32108852672053-1.57079632675     		φ = 0.75029220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75029220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 42.988576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8177 KachelY 6021 -0.00575243 0.75029220 -0.329590 42.988576
    Oben rechts KachelX + 1 8178 KachelY 6021 -0.00536893 0.75029220 -0.307617 42.988576
    Unten links KachelX 8177 KachelY + 1 6022 -0.00575243 0.75001164 -0.329590 42.972502
    Unten rechts KachelX + 1 8178 KachelY + 1 6022 -0.00536893 0.75001164 -0.307617 42.972502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75029220-0.75001164) × R
    0.000280559999999985 × 6371000     		dl = 1787.44775999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75029220-0.75001164) × R
    0.000280559999999985 × 6371000     		dr = 1787.44775999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00536893) × cos(0.75029220) × R
    0.0003835 × 0.731489662794871 × 6371000     		do = 1787.23296607896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00536893) × cos(0.75001164) × R
    0.0003835 × 0.731680934549086 × 6371000     		du = 1787.70029624369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75029220)-sin(0.75001164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731489662794871-0.731680934549086)×R²
    abs(-0.00536893--0.00575243)×0.00019127175421485×R²
    0.0003835×0.00019127175421485×6371000²
    0.0003835×0.00019127175421485×40589641000000     		ar = 3195003.24690236m²