Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8177 / 5685
↖ ↑ ↗
← N 48.151428°
W  0.329590°		 ← 1 630.07 m → N 48.151428°
W  0.307617°		 →
↑
1 630.28 m
↓
↑
1 630.28 m
↓
N 48.136767°
W  0.329590°		 ← 1 630.53 m →
2 657 839 m²		 N 48.136767°
W  0.307617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.499114990234375 y=0.347015380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.499114990234375 × 214)
    floor (0.499114990234375 × 16384)
    floor (8177.5)     		tx = 8177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347015380859375 × 214)
    floor (0.347015380859375 × 16384)
    floor (5685.5)     		ty = 5685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8177 / 5685 ti = "14/8177/5685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8177/5685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8177 ÷ 214
    8177 ÷ 16384     		x = 0.49908447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5685 ÷ 214
    5685 ÷ 16384     		y = 0.34698486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.0018310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00575243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34698486328125 × 2 - 1) × π
    0.3060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.961422458779846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00575243} λ = -0.00575243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961422458779846))-π/2
    2×atan(2.61541414749423)-π/2
    2×1.20559864370662-π/2
    2.41119728741323-1.57079632675     		φ = 0.84040096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00575243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84040096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.151428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8177 KachelY 5685 -0.00575243 0.84040096 -0.329590 48.151428
    Oben rechts KachelX + 1 8178 KachelY 5685 -0.00536893 0.84040096 -0.307617 48.151428
    Unten links KachelX 8177 KachelY + 1 5686 -0.00575243 0.84014507 -0.329590 48.136767
    Unten rechts KachelX + 1 8178 KachelY + 1 5686 -0.00536893 0.84014507 -0.307617 48.136767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84040096-0.84014507) × R
    0.000255889999999925 × 6371000     		dl = 1630.27518999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84040096-0.84014507) × R
    0.000255889999999925 × 6371000     		dr = 1630.27518999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00575243--0.00536893) × cos(0.84040096) × R
    0.0003835 × 0.667164200090286 × 6371000     		do = 1630.06794605029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00575243--0.00536893) × cos(0.84014507) × R
    0.0003835 × 0.667354793440794 × 6371000     		du = 1630.53361868583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84040096)-sin(0.84014507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667164200090286-0.667354793440794)×R²
    abs(-0.00536893--0.00575243)×0.000190593350507307×R²
    0.0003835×0.000190593350507307×6371000²
    0.0003835×0.000190593350507307×40589641000000     		ar = 2657838.93223407m²