Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8175 / 5674
↖ ↑ ↗
← N 48.312428°
W  0.373535°		 ← 1 624.95 m → N 48.312428°
W  0.351562°		 →
↑
1 625.18 m
↓
↑
1 625.18 m
↓
N 48.297813°
W  0.373535°		 ← 1 625.41 m →
2 641 207 m²		 N 48.297813°
W  0.351562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498992919921875 y=0.346343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498992919921875 × 214)
    floor (0.498992919921875 × 16384)
    floor (8175.5)     		tx = 8175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346343994140625 × 214)
    floor (0.346343994140625 × 16384)
    floor (5674.5)     		ty = 5674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8175 / 5674 ti = "14/8175/5674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8175/5674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8175 ÷ 214
    8175 ÷ 16384     		x = 0.49896240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5674 ÷ 214
    5674 ÷ 16384     		y = 0.3463134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49896240234375 × 2 - 1) × π
    -0.0020751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00651942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3463134765625 × 2 - 1) × π
    0.307373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.965640905946411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00651942} λ = -0.00651942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965640905946411))-π/2
    2×atan(2.62647043768632)-π/2
    2×1.20700363166749-π/2
    2.41400726333498-1.57079632675     		φ = 0.84321094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00651942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.373535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84321094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.312428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8175 KachelY 5674 -0.00651942 0.84321094 -0.373535 48.312428
    Oben rechts KachelX + 1 8176 KachelY 5674 -0.00613592 0.84321094 -0.351562 48.312428
    Unten links KachelX 8175 KachelY + 1 5675 -0.00651942 0.84295585 -0.373535 48.297813
    Unten rechts KachelX + 1 8176 KachelY + 1 5675 -0.00613592 0.84295585 -0.351562 48.297813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84321094-0.84295585) × R
    0.000255090000000013 × 6371000     		dl = 1625.17839000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84321094-0.84295585) × R
    0.000255090000000013 × 6371000     		dr = 1625.17839000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00651942--0.00613592) × cos(0.84321094) × R
    0.0003835 × 0.665068384757071 × 6371000     		do = 1624.94728550668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00651942--0.00613592) × cos(0.84295585) × R
    0.0003835 × 0.665258859854601 × 6371000     		du = 1625.41266921726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84321094)-sin(0.84295585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665068384757071-0.665258859854601)×R²
    abs(-0.00613592--0.00651942)×0.000190475097530118×R²
    0.0003835×0.000190475097530118×6371000²
    0.0003835×0.000190475097530118×40589641000000     		ar = 2641207.39339165m²