Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8172 / 5993
↖ ↑ ↗
← N 43.436966°
W  0.439453°		 ← 1 774.09 m → N 43.436966°
W  0.417481°		 →
↑
1 774.32 m
↓
↑
1 774.32 m
↓
N 43.421009°
W  0.439453°		 ← 1 774.56 m →
3 148 233 m²		 N 43.421009°
W  0.417481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498809814453125 y=0.365814208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498809814453125 × 214)
    floor (0.498809814453125 × 16384)
    floor (8172.5)     		tx = 8172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365814208984375 × 214)
    floor (0.365814208984375 × 16384)
    floor (5993.5)     		ty = 5993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8172 / 5993 ti = "14/8172/5993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8172/5993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8172 ÷ 214
    8172 ÷ 16384     		x = 0.498779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5993 ÷ 214
    5993 ÷ 16384     		y = 0.36578369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498779296875 × 2 - 1) × π
    -0.00244140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00766990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36578369140625 × 2 - 1) × π
    0.2684326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843305938116028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00766990} λ = -0.00766990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843305938116028))-π/2
    2×atan(2.32403741467084)-π/2
    2×1.16445719997358-π/2
    2.32891439994717-1.57079632675     		φ = 0.75811807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00766990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75811807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.436966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8172 KachelY 5993 -0.00766990 0.75811807 -0.439453 43.436966
    Oben rechts KachelX + 1 8173 KachelY 5993 -0.00728641 0.75811807 -0.417481 43.436966
    Unten links KachelX 8172 KachelY + 1 5994 -0.00766990 0.75783957 -0.439453 43.421009
    Unten rechts KachelX + 1 8173 KachelY + 1 5994 -0.00728641 0.75783957 -0.417481 43.421009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75811807-0.75783957) × R
    0.000278499999999959 × 6371000     		dl = 1774.32349999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75811807-0.75783957) × R
    0.000278499999999959 × 6371000     		dr = 1774.32349999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00766990--0.00728641) × cos(0.75811807) × R
    0.00038349 × 0.726131228349643 × 6371000     		do = 1774.09455658472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00766990--0.00728641) × cos(0.75783957) × R
    0.00038349 × 0.726322684570668 × 6371000     		du = 1774.56232525556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75811807)-sin(0.75783957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726131228349643-0.726322684570668)×R²
    abs(-0.00728641--0.00766990)×0.000191456221025343×R²
    0.00038349×0.000191456221025343×6371000²
    0.00038349×0.000191456221025343×40589641000000     		ar = 3148232.66979062m²