Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8171 / 5995
↖ ↑ ↗
← N 43.405047°
W  0.461426°		 ← 1 775.08 m → N 43.405047°
W  0.439453°		 →
↑
1 775.28 m
↓
↑
1 775.28 m
↓
N 43.389082°
W  0.461426°		 ← 1 775.54 m →
3 151 671 m²		 N 43.389082°
W  0.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5995 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498748779296875 y=0.365936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498748779296875 × 214)
    floor (0.498748779296875 × 16384)
    floor (8171.5)     		tx = 8171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365936279296875 × 214)
    floor (0.365936279296875 × 16384)
    floor (5995.5)     		ty = 5995
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8171 / 5995 ti = "14/8171/5995"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8171/5995.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8171 ÷ 214
    8171 ÷ 16384     		x = 0.49871826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5995 ÷ 214
    5995 ÷ 16384     		y = 0.36590576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49871826171875 × 2 - 1) × π
    -0.0025634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.00805340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36590576171875 × 2 - 1) × π
    0.2681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.842538947722107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00805340} λ = -0.00805340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.842538947722107))-π/2
    2×atan(2.32225558370964)-π/2
    2×1.16417865871262-π/2
    2.32835731742523-1.57079632675     		φ = 0.75756099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00805340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.461426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75756099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.405047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8171 KachelY 5995 -0.00805340 0.75756099 -0.461426 43.405047
    Oben rechts KachelX + 1 8172 KachelY 5995 -0.00766990 0.75756099 -0.439453 43.405047
    Unten links KachelX 8171 KachelY + 1 5996 -0.00805340 0.75728234 -0.461426 43.389082
    Unten rechts KachelX + 1 8172 KachelY + 1 5996 -0.00766990 0.75728234 -0.439453 43.389082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75756099-0.75728234) × R
    0.000278649999999936 × 6371000     		dl = 1775.27914999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75756099-0.75728234) × R
    0.000278649999999936 × 6371000     		dr = 1775.27914999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00805340--0.00766990) × cos(0.75756099) × R
    0.0003835 × 0.726514139428596 × 6371000     		do = 1775.07637681189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00805340--0.00766990) × cos(0.75728234) × R
    0.0003835 × 0.72670558599051 × 6371000     		du = 1775.54413408051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75756099)-sin(0.75728234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726514139428596-0.72670558599051)×R²
    abs(-0.00766990--0.00805340)×0.000191446561913611×R²
    0.0003835×0.000191446561913611×6371000²
    0.0003835×0.000191446561913611×40589641000000     		ar = 3151671.30166736m²