Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8170 / 5991
↖ ↑ ↗
← N 43.468868°
W  0.483398°		 ← 1 773.16 m → N 43.468868°
W  0.461426°		 →
↑
1 773.43 m
↓
↑
1 773.43 m
↓
N 43.452919°
W  0.483398°		 ← 1 773.63 m →
3 144 991 m²		 N 43.452919°
W  0.461426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5991 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498687744140625 y=0.365692138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498687744140625 × 214)
    floor (0.498687744140625 × 16384)
    floor (8170.5)     		tx = 8170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365692138671875 × 214)
    floor (0.365692138671875 × 16384)
    floor (5991.5)     		ty = 5991
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8170 / 5991 ti = "14/8170/5991"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8170/5991.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8170 ÷ 214
    8170 ÷ 16384     		x = 0.4986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5991 ÷ 214
    5991 ÷ 16384     		y = 0.36566162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00843689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36566162109375 × 2 - 1) × π
    0.2686767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.844072928509949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00843689} λ = -0.00843689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.844072928509949))-π/2
    2×atan(2.32582061280351)-π/2
    2×1.16473559438485-π/2
    2.32947118876969-1.57079632675     		φ = 0.75867486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00843689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.483398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75867486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.468868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8170 KachelY 5991 -0.00843689 0.75867486 -0.483398 43.468868
    Oben rechts KachelX + 1 8171 KachelY 5991 -0.00805340 0.75867486 -0.461426 43.468868
    Unten links KachelX 8170 KachelY + 1 5992 -0.00843689 0.75839650 -0.483398 43.452919
    Unten rechts KachelX + 1 8171 KachelY + 1 5992 -0.00805340 0.75839650 -0.461426 43.452919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75867486-0.75839650) × R
    0.000278359999999922 × 6371000     		dl = 1773.4315599995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75867486-0.75839650) × R
    0.000278359999999922 × 6371000     		dr = 1773.4315599995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00843689--0.00805340) × cos(0.75867486) × R
    0.00038349 × 0.725748291433017 × 6371000     		do = 1773.15895944638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00843689--0.00805340) × cos(0.75839650) × R
    0.00038349 × 0.725939763951328 × 6371000     		du = 1773.62676793499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75867486)-sin(0.75839650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725748291433017-0.725939763951328)×R²
    abs(-0.00805340--0.00843689)×0.000191472518310309×R²
    0.00038349×0.000191472518310309×6371000²
    0.00038349×0.000191472518310309×40589641000000     		ar = 3144990.89305433m²