Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8168 / 6019
↖ ↑ ↗
← N 43.020714°
W  0.527343°		 ← 1 786.25 m → N 43.020714°
W  0.505371°		 →
↑
1 786.49 m
↓
↑
1 786.49 m
↓
N 43.004647°
W  0.527343°		 ← 1 786.72 m →
3 191 542 m²		 N 43.004647°
W  0.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498565673828125 y=0.367401123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498565673828125 × 214)
    floor (0.498565673828125 × 16384)
    floor (8168.5)     		tx = 8168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.367401123046875 × 214)
    floor (0.367401123046875 × 16384)
    floor (6019.5)     		ty = 6019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8168 / 6019 ti = "14/8168/6019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8168/6019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8168 ÷ 214
    8168 ÷ 16384     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6019 ÷ 214
    6019 ÷ 16384     		y = 0.36737060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36737060546875 × 2 - 1) × π
    0.2652587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.833335062995056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.833335062995056))-π/2
    2×atan(2.30097987080619)-π/2
    2×1.16082471277756-π/2
    2.32164942555513-1.57079632675     		φ = 0.75085310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75085310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.020714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8168 KachelY 6019 -0.00920388 0.75085310 -0.527343 43.020714
    Oben rechts KachelX + 1 8169 KachelY 6019 -0.00882039 0.75085310 -0.505371 43.020714
    Unten links KachelX 8168 KachelY + 1 6020 -0.00920388 0.75057269 -0.527343 43.004647
    Unten rechts KachelX + 1 8169 KachelY + 1 6020 -0.00882039 0.75057269 -0.505371 43.004647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75085310-0.75057269) × R
    0.000280410000000009 × 6371000     		dl = 1786.49211000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75085310-0.75057269) × R
    0.000280410000000009 × 6371000     		dr = 1786.49211000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00882039) × cos(0.75085310) × R
    0.00038349 × 0.731107096664076 × 6371000     		do = 1786.25167164363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00882039) × cos(0.75057269) × R
    0.00038349 × 0.731298381206282 × 6371000     		du = 1786.71902086625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75085310)-sin(0.75057269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731107096664076-0.731298381206282)×R²
    abs(-0.00882039--0.00920388)×0.000191284542206183×R²
    0.00038349×0.000191284542206183×6371000²
    0.00038349×0.000191284542206183×40589641000000     		ar = 3191541.99662877m²