Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8168 / 5992
↖ ↑ ↗
← N 43.452919°
W  0.527343°		 ← 1 773.63 m → N 43.452919°
W  0.505371°		 →
↑
1 773.88 m
↓
↑
1 773.88 m
↓
N 43.436966°
W  0.527343°		 ← 1 774.09 m →
3 146 612 m²		 N 43.436966°
W  0.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498565673828125 y=0.365753173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498565673828125 × 214)
    floor (0.498565673828125 × 16384)
    floor (8168.5)     		tx = 8168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365753173828125 × 214)
    floor (0.365753173828125 × 16384)
    floor (5992.5)     		ty = 5992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8168 / 5992 ti = "14/8168/5992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8168/5992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8168 ÷ 214
    8168 ÷ 16384     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5992 ÷ 214
    5992 ÷ 16384     		y = 0.36572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36572265625 × 2 - 1) × π
    0.2685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.843689433312988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.843689433312988))-π/2
    2×atan(2.32492884277519)-π/2
    2×1.16459641553599-π/2
    2.32919283107197-1.57079632675     		φ = 0.75839650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75839650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.452919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8168 KachelY 5992 -0.00920388 0.75839650 -0.527343 43.452919
    Oben rechts KachelX + 1 8169 KachelY 5992 -0.00882039 0.75839650 -0.505371 43.452919
    Unten links KachelX 8168 KachelY + 1 5993 -0.00920388 0.75811807 -0.527343 43.436966
    Unten rechts KachelX + 1 8169 KachelY + 1 5993 -0.00882039 0.75811807 -0.505371 43.436966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75839650-0.75811807) × R
    0.000278430000000052 × 6371000     		dl = 1773.87753000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75839650-0.75811807) × R
    0.000278430000000052 × 6371000     		dr = 1773.87753000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00882039) × cos(0.75839650) × R
    0.00038349 × 0.725939763951328 × 6371000     		do = 1773.62676793499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00882039) × cos(0.75811807) × R
    0.00038349 × 0.726131228349643 × 6371000     		du = 1774.09455658472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75839650)-sin(0.75811807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.725939763951328-0.726131228349643)×R²
    abs(-0.00882039--0.00920388)×0.000191464398315189×R²
    0.00038349×0.000191464398315189×6371000²
    0.00038349×0.000191464398315189×40589641000000     		ar = 3146611.59046276m²