Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8168 / 5689
↖ ↑ ↗
← N 48.092757°
W  0.527343°		 ← 1 631.89 m → N 48.092757°
W  0.505371°		 →
↑
1 632.12 m
↓
↑
1 632.12 m
↓
N 48.078079°
W  0.527343°		 ← 1 632.35 m →
2 663 822 m²		 N 48.078079°
W  0.505371°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498565673828125 y=0.347259521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498565673828125 × 214)
    floor (0.498565673828125 × 16384)
    floor (8168.5)     		tx = 8168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347259521484375 × 214)
    floor (0.347259521484375 × 16384)
    floor (5689.5)     		ty = 5689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8168 / 5689 ti = "14/8168/5689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8168/5689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8168 ÷ 214
    8168 ÷ 16384     		x = 0.49853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5689 ÷ 214
    5689 ÷ 16384     		y = 0.34722900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49853515625 × 2 - 1) × π
    -0.0029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.00920388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34722900390625 × 2 - 1) × π
    0.3055419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.959888477992004
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00920388} λ = -0.00920388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.959888477992004))-π/2
    2×atan(2.61140522802856)-π/2
    2×1.20508664279318-π/2
    2.41017328558636-1.57079632675     		φ = 0.83937696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00920388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.527343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83937696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.092757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8168 KachelY 5689 -0.00920388 0.83937696 -0.527343 48.092757
    Oben rechts KachelX + 1 8169 KachelY 5689 -0.00882039 0.83937696 -0.505371 48.092757
    Unten links KachelX 8168 KachelY + 1 5690 -0.00920388 0.83912078 -0.527343 48.078079
    Unten rechts KachelX + 1 8169 KachelY + 1 5690 -0.00882039 0.83912078 -0.505371 48.078079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83937696-0.83912078) × R
    0.000256179999999939 × 6371000     		dl = 1632.12277999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83937696-0.83912078) × R
    0.000256179999999939 × 6371000     		dr = 1632.12277999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00920388--0.00882039) × cos(0.83937696) × R
    0.00038349 × 0.66792663871329 × 6371000     		do = 1631.8882423393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00920388--0.00882039) × cos(0.83912078) × R
    0.00038349 × 0.668117272897252 × 6371000     		du = 1632.35400259703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83937696)-sin(0.83912078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66792663871329-0.668117272897252)×R²
    abs(-0.00882039--0.00920388)×0.000190634183961591×R²
    0.00038349×0.000190634183961591×6371000²
    0.00038349×0.000190634183961591×40589641000000     		ar = 2663822.07826755m²