Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8167 / 5688
↖ ↑ ↗
← N 48.107431°
W  0.549316°		 ← 1 631.47 m → N 48.107431°
W  0.527343°		 →
↑
1 631.68 m
↓
↑
1 631.68 m
↓
N 48.092757°
W  0.549316°		 ← 1 631.93 m →
2 662 404 m²		 N 48.092757°
W  0.527343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498504638671875 y=0.347198486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498504638671875 × 214)
    floor (0.498504638671875 × 16384)
    floor (8167.5)     		tx = 8167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347198486328125 × 214)
    floor (0.347198486328125 × 16384)
    floor (5688.5)     		ty = 5688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8167 / 5688 ti = "14/8167/5688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8167/5688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8167 ÷ 214
    8167 ÷ 16384     		x = 0.49847412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5688 ÷ 214
    5688 ÷ 16384     		y = 0.34716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49847412109375 × 2 - 1) × π
    -0.0030517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.00958738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34716796875 × 2 - 1) × π
    0.3056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.960271973188965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.00958738} λ = -0.00958738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960271973188965))-π/2
    2×atan(2.61240688144319)-π/2
    2×1.20521469784608-π/2
    2.41042939569216-1.57079632675     		φ = 0.83963307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.00958738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.549316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83963307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.107431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8167 KachelY 5688 -0.00958738 0.83963307 -0.549316 48.107431
    Oben rechts KachelX + 1 8168 KachelY 5688 -0.00920388 0.83963307 -0.527343 48.107431
    Unten links KachelX 8167 KachelY + 1 5689 -0.00958738 0.83937696 -0.549316 48.092757
    Unten rechts KachelX + 1 8168 KachelY + 1 5689 -0.00920388 0.83937696 -0.527343 48.092757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83963307-0.83937696) × R
    0.000256110000000032 × 6371000     		dl = 1631.6768100002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83963307-0.83937696) × R
    0.000256110000000032 × 6371000     		dr = 1631.6768100002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.00958738--0.00920388) × cos(0.83963307) × R
    0.0003835 × 0.667736012802383 × 6371000     		do = 1631.46504375579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.00958738--0.00920388) × cos(0.83937696) × R
    0.0003835 × 0.66792663871329 × 6371000     		du = 1631.93079594545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83963307)-sin(0.83937696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667736012802383-0.66792663871329)×R²
    abs(-0.00920388--0.00958738)×0.000190625910906794×R²
    0.0003835×0.000190625910906794×6371000²
    0.0003835×0.000190625910906794×40589641000000     		ar = 2662403.67129721m²