Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8164 / 5716
↖ ↑ ↗
← N 47.694974°
W  0.615235°		 ← 1 644.52 m → N 47.694974°
W  0.593262°		 →
↑
1 644.74 m
↓
↑
1 644.74 m
↓
N 47.680183°
W  0.615235°		 ← 1 644.98 m →
2 705 180 m²		 N 47.680183°
W  0.593262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498321533203125 y=0.348907470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498321533203125 × 214)
    floor (0.498321533203125 × 16384)
    floor (8164.5)     		tx = 8164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348907470703125 × 214)
    floor (0.348907470703125 × 16384)
    floor (5716.5)     		ty = 5716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8164 / 5716 ti = "14/8164/5716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8164/5716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8164 ÷ 214
    8164 ÷ 16384     		x = 0.498291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5716 ÷ 214
    5716 ÷ 16384     		y = 0.348876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.00341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01073787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348876953125 × 2 - 1) × π
    0.30224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.949534107674072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01073787} λ = -0.01073787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.949534107674072))-π/2
    2×atan(2.58450527760638)-π/2
    2×1.20161533284818-π/2
    2.40323066569635-1.57079632675     		φ = 0.83243434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01073787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.615235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83243434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.694974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8164 KachelY 5716 -0.01073787 0.83243434 -0.615235 47.694974
    Oben rechts KachelX + 1 8165 KachelY 5716 -0.01035437 0.83243434 -0.593262 47.694974
    Unten links KachelX 8164 KachelY + 1 5717 -0.01073787 0.83217618 -0.615235 47.680183
    Unten rechts KachelX + 1 8165 KachelY + 1 5717 -0.01035437 0.83217618 -0.593262 47.680183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83243434-0.83217618) × R
    0.000258160000000007 × 6371000     		dl = 1644.73736000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83243434-0.83217618) × R
    0.000258160000000007 × 6371000     		dr = 1644.73736000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01073787--0.01035437) × cos(0.83243434) × R
    0.0003835 × 0.673077386331862 × 6371000     		do = 1644.51550686083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01073787--0.01035437) × cos(0.83217618) × R
    0.0003835 × 0.673268291823609 × 6371000     		du = 1644.98194214435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83243434)-sin(0.83217618))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673077386331862-0.673268291823609)×R²
    abs(-0.01035437--0.01073787)×0.000190905491747384×R²
    0.0003835×0.000190905491747384×6371000²
    0.0003835×0.000190905491747384×40589641000000     		ar = 2705179.69002671m²