Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8161 / 5987
↖ ↑ ↗
← N 43.532621°
W  0.681152°		 ← 1 771.29 m → N 43.532621°
W  0.659180°		 →
↑
1 771.58 m
↓
↑
1 771.58 m
↓
N 43.516688°
W  0.681152°		 ← 1 771.76 m →
3 138 399 m²		 N 43.516688°
W  0.659180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498138427734375 y=0.365447998046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498138427734375 × 214)
    floor (0.498138427734375 × 16384)
    floor (8161.5)     		tx = 8161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.365447998046875 × 214)
    floor (0.365447998046875 × 16384)
    floor (5987.5)     		ty = 5987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8161 / 5987 ti = "14/8161/5987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8161/5987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8161 ÷ 214
    8161 ÷ 16384     		x = 0.49810791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5987 ÷ 214
    5987 ÷ 16384     		y = 0.36541748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49810791015625 × 2 - 1) × π
    -0.0037841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.01188835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36541748046875 × 2 - 1) × π
    0.2691650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.845606909297791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01188835} λ = -0.01188835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.845606909297791))-π/2
    2×atan(2.32939111478009)-π/2
    2×1.16529194262308-π/2
    2.33058388524615-1.57079632675     		φ = 0.75978756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01188835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75978756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.532621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8161 KachelY 5987 -0.01188835 0.75978756 -0.681152 43.532621
    Oben rechts KachelX + 1 8162 KachelY 5987 -0.01150486 0.75978756 -0.659180 43.532621
    Unten links KachelX 8161 KachelY + 1 5988 -0.01188835 0.75950949 -0.681152 43.516688
    Unten rechts KachelX + 1 8162 KachelY + 1 5988 -0.01150486 0.75950949 -0.659180 43.516688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75978756-0.75950949) × R
    0.000278070000000019 × 6371000     		dl = 1771.58397000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75978756-0.75950949) × R
    0.000278070000000019 × 6371000     		dr = 1771.58397000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01188835--0.01150486) × cos(0.75978756) × R
    0.00038349 × 0.724982348855406 × 6371000     		do = 1771.28759721247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01188835--0.01150486) × cos(0.75950949) × R
    0.00038349 × 0.725173846387604 × 6371000     		du = 1771.75546681538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75978756)-sin(0.75950949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.724982348855406-0.725173846387604)×R²
    abs(-0.01150486--0.01188835)×0.000191497532197604×R²
    0.00038349×0.000191497532197604×6371000²
    0.00038349×0.000191497532197604×40589641000000     		ar = 3138399.16884825m²