Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8159 / 5795
↖ ↑ ↗
← N 46.513515°
W  0.725098°		 ← 1 681.38 m → N 46.513515°
W  0.703125°		 →
↑
1 681.63 m
↓
↑
1 681.63 m
↓
N 46.498392°
W  0.725098°		 ← 1 681.85 m →
2 827 845 m²		 N 46.498392°
W  0.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498016357421875 y=0.353729248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498016357421875 × 214)
    floor (0.498016357421875 × 16384)
    floor (8159.5)     		tx = 8159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353729248046875 × 214)
    floor (0.353729248046875 × 16384)
    floor (5795.5)     		ty = 5795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8159 / 5795 ti = "14/8159/5795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8159/5795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8159 ÷ 214
    8159 ÷ 16384     		x = 0.49798583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5795 ÷ 214
    5795 ÷ 16384     		y = 0.35369873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49798583984375 × 2 - 1) × π
    -0.0040283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01265534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35369873046875 × 2 - 1) × π
    0.2926025390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.919237987114197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01265534} λ = -0.01265534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919237987114197))-π/2
    2×atan(2.50737900666677)-π/2
    2×1.19130516016796-π/2
    2.38261032033592-1.57079632675     		φ = 0.81181399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01265534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.725098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81181399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.513515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8159 KachelY 5795 -0.01265534 0.81181399 -0.725098 46.513515
    Oben rechts KachelX + 1 8160 KachelY 5795 -0.01227185 0.81181399 -0.703125 46.513515
    Unten links KachelX 8159 KachelY + 1 5796 -0.01265534 0.81155004 -0.725098 46.498392
    Unten rechts KachelX + 1 8160 KachelY + 1 5796 -0.01227185 0.81155004 -0.703125 46.498392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81181399-0.81155004) × R
    0.000263950000000013 × 6371000     		dl = 1681.62545000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81181399-0.81155004) × R
    0.000263950000000013 × 6371000     		dr = 1681.62545000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01265534--0.01227185) × cos(0.81181399) × R
    0.000383489999999998 × 0.688183449563287 × 6371000     		do = 1681.37998220624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01265534--0.01227185) × cos(0.81155004) × R
    0.000383489999999998 × 0.688374931006971 × 6371000     		du = 1681.84781250145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81181399)-sin(0.81155004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688183449563287-0.688374931006971)×R²
    abs(-0.01227185--0.01265534)×0.000191481443683528×R²
    0.000383489999999998×0.000191481443683528×6371000²
    0.000383489999999998×0.000191481443683528×40589641000000     		ar = 2827844.74328289m²