Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8157 / 5701
↖ ↑ ↗
← N 47.916342°
W  0.769043°		 ← 1 637.48 m → N 47.916342°
W  0.747071°		 →
↑
1 637.73 m
↓
↑
1 637.73 m
↓
N 47.901613°
W  0.769043°		 ← 1 637.95 m →
2 682 129 m²		 N 47.901613°
W  0.747071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497894287109375 y=0.347991943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497894287109375 × 214)
    floor (0.497894287109375 × 16384)
    floor (8157.5)     		tx = 8157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347991943359375 × 214)
    floor (0.347991943359375 × 16384)
    floor (5701.5)     		ty = 5701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8157 / 5701 ti = "14/8157/5701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8157/5701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8157 ÷ 214
    8157 ÷ 16384     		x = 0.49786376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5701 ÷ 214
    5701 ÷ 16384     		y = 0.34796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49786376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0042724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01342233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34796142578125 × 2 - 1) × π
    0.3040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.955286535628479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01342233} λ = -0.01342233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.955286535628479))-π/2
    2×atan(2.59941530131729)-π/2
    2×1.20354713044459-π/2
    2.40709426088919-1.57079632675     		φ = 0.83629793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01342233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.769043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83629793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.916342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8157 KachelY 5701 -0.01342233 0.83629793 -0.769043 47.916342
    Oben rechts KachelX + 1 8158 KachelY 5701 -0.01303884 0.83629793 -0.747071 47.916342
    Unten links KachelX 8157 KachelY + 1 5702 -0.01342233 0.83604087 -0.769043 47.901613
    Unten rechts KachelX + 1 8158 KachelY + 1 5702 -0.01303884 0.83604087 -0.747071 47.901613
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83629793-0.83604087) × R
    0.00025705999999992 × 6371000     		dl = 1637.72925999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83629793-0.83604087) × R
    0.00025705999999992 × 6371000     		dr = 1637.72925999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01342233--0.01303884) × cos(0.83629793) × R
    0.00038349 × 0.670214966608158 × 6371000     		do = 1637.47911889641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01342233--0.01303884) × cos(0.83604087) × R
    0.00038349 × 0.670405725918612 × 6371000     		du = 1637.94518486504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83629793)-sin(0.83604087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670214966608158-0.670405725918612)×R²
    abs(-0.01303884--0.01342233)×0.000190759310454203×R²
    0.00038349×0.000190759310454203×6371000²
    0.00038349×0.000190759310454203×40589641000000     		ar = 2682129.1253606m²