Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8156 / 5788
↖ ↑ ↗
← N 46.619261°
W  0.791016°		 ← 1 678.15 m → N 46.619261°
W  0.769043°		 →
↑
1 678.38 m
↓
↑
1 678.38 m
↓
N 46.604167°
W  0.791016°		 ← 1 678.62 m →
2 816 958 m²		 N 46.604167°
W  0.769043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497833251953125 y=0.353302001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497833251953125 × 214)
    floor (0.497833251953125 × 16384)
    floor (8156.5)     		tx = 8156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353302001953125 × 214)
    floor (0.353302001953125 × 16384)
    floor (5788.5)     		ty = 5788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8156 / 5788 ti = "14/8156/5788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8156/5788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8156 ÷ 214
    8156 ÷ 16384     		x = 0.497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5788 ÷ 214
    5788 ÷ 16384     		y = 0.353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.497802734375 × 2 - 1) × π
    -0.00439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.01380583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353271484375 × 2 - 1) × π
    0.29345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.92192245349292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01380583} λ = -0.01380583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.92192245349292))-π/2
    2×atan(2.51411902393618)-π/2
    2×1.19222796335235-π/2
    2.38445592670469-1.57079632675     		φ = 0.81365960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01380583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81365960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.619261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8156 KachelY 5788 -0.01380583 0.81365960 -0.791016 46.619261
    Oben rechts KachelX + 1 8157 KachelY 5788 -0.01342233 0.81365960 -0.769043 46.619261
    Unten links KachelX 8156 KachelY + 1 5789 -0.01380583 0.81339616 -0.791016 46.604167
    Unten rechts KachelX + 1 8157 KachelY + 1 5789 -0.01342233 0.81339616 -0.769043 46.604167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81365960-0.81339616) × R
    0.000263440000000004 × 6371000     		dl = 1678.37624000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81365960-0.81339616) × R
    0.000263440000000004 × 6371000     		dr = 1678.37624000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01380583--0.01342233) × cos(0.81365960) × R
    0.0003835 × 0.686843220416776 × 6371000     		do = 1678.14927331507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01380583--0.01342233) × cos(0.81339616) × R
    0.0003835 × 0.687034666250029 × 6371000     		du = 1678.61702880337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81365960)-sin(0.81339616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.686843220416776-0.687034666250029)×R²
    abs(-0.01342233--0.01380583)×0.00019144583325259×R²
    0.0003835×0.00019144583325259×6371000²
    0.0003835×0.00019144583325259×40589641000000     		ar = 2816958.41864402m²