Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8155 / 6007
↖ ↑ ↗
← N 43.213183°
W  0.812988°		 ← 1 780.64 m → N 43.213183°
W  0.791016°		 →
↑
1 780.89 m
↓
↑
1 780.89 m
↓
N 43.197167°
W  0.812988°		 ← 1 781.11 m →
3 171 536 m²		 N 43.197167°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497772216796875 y=0.366668701171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497772216796875 × 214)
    floor (0.497772216796875 × 16384)
    floor (8155.5)     		tx = 8155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.366668701171875 × 214)
    floor (0.366668701171875 × 16384)
    floor (6007.5)     		ty = 6007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8155 / 6007 ti = "14/8155/6007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8155/6007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8155 ÷ 214
    8155 ÷ 16384     		x = 0.49774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6007 ÷ 214
    6007 ÷ 16384     		y = 0.36663818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.36663818359375 × 2 - 1) × π
    0.2667236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.837937005358582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01418932} λ = -0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.837937005358582))-π/2
    2×atan(2.31159324989998)-π/2
    2×1.16250432782158-π/2
    2.32500865564317-1.57079632675     		φ = 0.75421233
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.75421233 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 43.213183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8155 KachelY 6007 -0.01418932 0.75421233 -0.812988 43.213183
    Oben rechts KachelX + 1 8156 KachelY 6007 -0.01380583 0.75421233 -0.791016 43.213183
    Unten links KachelX 8155 KachelY + 1 6008 -0.01418932 0.75393280 -0.812988 43.197167
    Unten rechts KachelX + 1 8156 KachelY + 1 6008 -0.01380583 0.75393280 -0.791016 43.197167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.75421233-0.75393280) × R
    0.000279530000000028 × 6371000     		dl = 1780.88563000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.75421233-0.75393280) × R
    0.000279530000000028 × 6371000     		dr = 1780.88563000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01418932--0.01380583) × cos(0.75421233) × R
    0.00038349 × 0.728811098533943 × 6371000     		do = 1780.64205505428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01418932--0.01380583) × cos(0.75393280) × R
    0.00038349 × 0.729002468391097 × 6371000     		du = 1781.10961271964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.75421233)-sin(0.75393280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.728811098533943-0.729002468391097)×R²
    abs(-0.01380583--0.01418932)×0.000191369857154844×R²
    0.00038349×0.000191369857154844×6371000²
    0.00038349×0.000191369857154844×40589641000000     		ar = 3171536.20203501m²