Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8155 / 5707
↖ ↑ ↗
← N 47.827908°
W  0.812988°		 ← 1 640.28 m → N 47.827908°
W  0.791016°		 →
↑
1 640.53 m
↓
↑
1 640.53 m
↓
N 47.813154°
W  0.812988°		 ← 1 640.74 m →
2 691 308 m²		 N 47.813154°
W  0.791016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.497772216796875 y=0.348358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.497772216796875 × 214)
    floor (0.497772216796875 × 16384)
    floor (8155.5)     		tx = 8155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348358154296875 × 214)
    floor (0.348358154296875 × 16384)
    floor (5707.5)     		ty = 5707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8155 / 5707 ti = "14/8155/5707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8155/5707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8155 ÷ 214
    8155 ÷ 16384     		x = 0.49774169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5707 ÷ 214
    5707 ÷ 16384     		y = 0.34832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.01418932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34832763671875 × 2 - 1) × π
    0.3033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.952985564446716
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01418932} λ = -0.01418932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.952985564446716))-π/2
    2×atan(2.59344099760576)-π/2
    2×1.20277539933526-π/2
    2.40555079867053-1.57079632675     		φ = 0.83475447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01418932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.812988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83475447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.827908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8155 KachelY 5707 -0.01418932 0.83475447 -0.812988 47.827908
    Oben rechts KachelX + 1 8156 KachelY 5707 -0.01380583 0.83475447 -0.791016 47.827908
    Unten links KachelX 8155 KachelY + 1 5708 -0.01418932 0.83449697 -0.812988 47.813154
    Unten rechts KachelX + 1 8156 KachelY + 1 5708 -0.01380583 0.83449697 -0.791016 47.813154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83475447-0.83449697) × R
    0.000257500000000022 × 6371000     		dl = 1640.53250000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83475447-0.83449697) × R
    0.000257500000000022 × 6371000     		dr = 1640.53250000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01418932--0.01380583) × cos(0.83475447) × R
    0.00038349 × 0.671359672959571 × 6371000     		do = 1640.27588238439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01418932--0.01380583) × cos(0.83449697) × R
    0.00038349 × 0.671550492111287 × 6371000     		du = 1640.74209455807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83475447)-sin(0.83449697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671359672959571-0.671550492111287)×R²
    abs(-0.01380583--0.01418932)×0.000190819151715482×R²
    0.00038349×0.000190819151715482×6371000²
    0.00038349×0.000190819151715482×40589641000000     		ar = 2691308.32700014m²